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小学数学知识讲座------应用题迎祥小学李家容一、相关知识•1.相关知识关系公式部总关系部分数和总数关系部分数+部分数=总数总数-部分数=另一部分数份数和总数关系每份数×份数=总数总数÷份数=每份数总数÷每份数=份数比较关系大小关系大数-小数=相差数大数-相差数=小数小数+相差数=大数倍数关系大数÷小数=倍数大数÷倍数=小数小数×倍数=大数•2常用公式•包括：行程问题、工效问题、比重问题、价格问题、产量问题、利率问题二、基本概念•1.分类：•文字题：用数学名词、术语表达数与数之间关系的题目，叫做文字题。•简单应用题：有两个条件一个问题组成一个基本数量关系，用一步运算（加、减、乘、除）进行解答的应用题•复合应用题：由若干个互相联系的简单应用题复合而成的应用题•典型应用题：用两步或两步以上运算解答的，具有特殊结构的、有一定解答规律的应用题•2.解题步骤：•审题：弄清题意，并找出已知条件和所求的问题•分析：分析题目中数量间的关系，确定先算什么，再算什么……最后算什么•解答：确定每一步该怎样算，列出算式，并求出结果•检验：检查计算是否有误，答案是否符合题意•写答：根据题目要求，写出答案三、解答应用题的方法•1。基本方法•分析法：从应用题的问题出发，推到已知条件，找到解决问题的主要数量关系，逐步解决问题•综合法：从已知条件入手，把间接条件逐步转化为直接条件，最后解决所求问题•“分析法”和“综合法”是分析应用题数量关系的两种基本方法，综合法以分析为基础，分析法以综合为指导，两种方法总是相互结合、相互渗透的。在解应用题时，若解题过程简单，则分析法、综合法可以任意选用；若解题过程复杂，则可以依据已知和所求相互推导的繁简情况来选择方法，或分析法或综合法或分析__综合法•2.常用方法•图解法：运用线段或其他图形，把抽象的、隐蔽的数量关系表示出来，从而找到解题的途径•逆推法：从已知的结果出发，利用已知条件从后往前逐步展开，直到求出答案•假设法：应用题中含有两个或两个以上的未知量时，先把要求的几个未知量假设为其中的一种数量，这样算与实际数量肯定会出现一个差，再根据条件找到解决这个差的办法，最后求出答案。例如明明计算20道数学竞赛题，做对一题得5分，做错一题扣3分，结果他得了60分，问明明做对了几题？分析：假设明明20道题全做对，可得100分，实际他少得40分，少得的原因是错一题与对一题相差8分。列出算式：20-（5×20-60）÷（5+3）•演示法：借助实物演示，发现隐蔽的数量关系，找到解题途径不变量法：在诸多数量的变化过程中，依据题中固定不变的数量及其数量关系，找到解题的途径。如年龄问题。3.列方程解应用题意义步骤用字母或含有字母的式子表示未知量，根据题中的等量关系列出方程，求解方程，得出未知数的值1.弄清题意：分析数量关系，找到已知条件和未知条件；2.假设x：把其一个未知数量假设为x；3.列方程：根据题中的等量关系，列出方程；4.解方程；5.验算：检验x的值是否符合原方程的题意；6.写答语：答语要写完整。4.方程解法与算术解法的区别名称共同点不同点算术解法都是以四则运算和常见的数量关系为基础，分析题里已知量与未知间的数量关系，最后根据运算的意义列式解题未知数处于特殊的地位，始终作为解题的目标，不参加列式，运算算式中全是已知数，整个算式就表示要求的未知数。求出算式的值就是所求的未知量方程解法未知数处于和已知数平行的地位，可以直接参加列式和计算，未知数和已知数组成一个相等的关系，未知数可以在方程中任何位置四、应用题的题型•1.文字题（略）•2.简单应用题•（1）两数相并的关系：求总数；求和；求部分数；求剩余。•（2）两数相差的关系：求两数的差；求比一个数少（多）几的数。•（3）每份数、份数、总数的关系：求几个相同加数的和；等分除法；包含除法。•（4）两数的倍数关系：求一个数的几倍是多少；求倍数；求一倍数是几3.典型应用题•和差问题：已知大、小两个数的和与它们的差，求这两个数各是多少•和倍问题：已知大、小两个数的和与它们的倍数关系，求大、小两个数各是多少•差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少•平均数问题：已知几个不同的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们成为相等的几份，求一份是多少•归一问题：在解决实际问题时，有时需先求出一份是多少，再求其它结果（总数或份数）•归总问题：已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总量求得单位数量的个数•相遇问题：两个物体以不同的速度从两地同时出发相向而行并且相遇。•追击问题：两个物体同时从两地同向而行，速度慢的在前面行，速度快的在后面追，直到追上为止。4.分数、百分数应用题•求一个数是另一数的几分之几（或百分之几）•求一个数的几分之几（或百分之几）是多少•已知一个数的几分之几（或百分之几）是多少，求这个数•工程问题：把工作量看做单位“1”，几个单位时间完成，工作效率就是几分之几•折扣问题：百分数应用题的一种。•利率问题：它表示一定时间内利息数与本金的比值典型例题•一、典型应用题•解决此类应用题有两大“法宝”：一是线段图；二是方程。对此类题型的训练可以提高学生对数量关系的理解，更为重要的是可以提高学生解题的基本策略。•例1.甲乙两人年龄的和是29岁，已知甲比乙小3岁，甲乙两人各多少岁？（和差问题）•解答：（29+3）÷2=16（岁）（29－3）÷2=13（岁）•变式：甲乙两箱共有水果50千克，若从甲箱中取6千克放到乙箱中，这时甲箱比乙箱还多2千克，求这两箱原有水果各多少千克？•解答：甲比乙共多6×2+2=14（千克）•（50+14）÷2=32（千克）（50－14）÷2=18（千克）•例2.甲乙两厂某月共生产电脑664台，甲厂的产量是乙厂的3倍，求这个月甲乙两厂各生产多少台电脑？（和倍问题）•变式：甲乙两数的和是30，甲数的小数点向左移动一位后等于乙数的一半，那么甲数是多少？•例3.某彩票销售点既出售福利彩票又出售体育彩票。已知购卖体育彩票的人数是购卖福利彩票人数的4倍，且比购卖福利彩票的人数多720人。求该销售点购卖两种彩票的人数各有多少人？（差倍问题）•变式：父亲今年比儿子大36岁，3年后父亲的年龄是儿子的5倍，那么儿子今年多少岁？•注：对“和、差、倍”的题型，不宜让学生记忆解题的模式，在三、四年级训练重心放在应用线段图解题的策略培养，高年级宜采用方程法解题。•例4.某班学习小组有12人，一次数学测验只有10人参加，平均分是81.5分。后来，缺考的李明和张红进行补考，李明的补考成绩比原有10人的平均分少1.5分，而张红的补考成绩却比12人的平均分多12.5分。张红考了多少分？（求平均数问题）•平均的基本思想是“移多补少”，很多问题都是从这一角度进行思考。•解答（12.5－1.5）÷（12－1）+81.5+12.5=95（分）•变式：15个同学分读书卡，平均每人分到7张；又来了若干个同学，大家重新分配，平均每人分到5张，问来了几个同学？•解答：15×（7－5）÷5=6（人）•例5.有一个长方形的操场，长45米，宽30米，如果沿着它的周围每隔3米种一棵树，一共需要种树多少棵？（植树问题）•解答（45+30）×2÷3=50（棵）•例6.小明的妈妈买来一篮鸡蛋，小明第一天吃了鸡蛋总数的1/7，第二天吃了余下的1/4，第三、四天都吃了上一天余下的鸡蛋数的1/3，第五天吃了余下的1/2，第六天吃了余下的最后2个鸡蛋。小明的妈妈共买了多少个鸡蛋？（还原问题）•年龄问题、归一问题（略）二、分数、百分数应用题•较复杂的分数应用常在以下几个方面进行变化：①多个分率往往没有统一的单位“1”；②单位“1”发生了变化；③分率与量没有对应关系；④对应关系较为隐蔽、复杂等。•例1.某市中小学参加数学竞赛的结果是：小学和初中获奖人数占获奖总人数的7/11；初中和高中获奖的人数比获奖总人数的2/3多3人；已知初中获奖的有43人，获奖总人数是多少？（关键在寻求量与分率的对应）•解答（43－3）÷（7/11+2/3－1）=132(人)•例2.六年级有两个班，把一班人数的2/15调入到二班，这时二班人数的3/5是一班人数的3/4，原来一班人数占全年级人数的份数是多少？（重在单位“1”的统一）•此题并未出现具体的量，将一班人数作为单位“1”时，可得出各个分率，就可看作相应的“量”进行计算。这种能力是我们的在校生比较薄弱的。•解答：1÷（13/12－2/15+1）=20/39现代经济中的热点问题例1.某食品店将进货单价为12元/千克的水果糖按单价15元/千克出售时，每天可售出90千克。现该店想提高售价，增加利润。但市场规律是：水果糖每千克提价1元，其销售量每天就减少6千克。问商家定价为多少时，每天获利最大？例2.某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：特等奖10000元1名，一等奖1000元2名，二等奖100元10名，三等奖5元200名；乙商厦则实行九五折优惠销售。请你想一想：哪一种销售方式更吸引人？哪一家商厦提供给消费者的优惠大？例3.小周购买了一部手机想入网。朋友小王介绍他加入中国联通130网，收费标准是：月租费30元，每月来电显示费6元，本地电话费每分钟0.4元；朋友小李向他推荐中国电信的“神州行”储值卡，收费标准是：本地电话每分钟0.6元，月租费和来电显示费全免了。小周的亲戚朋友都在本地，他也想拥有来电显示服务，请问该选择哪一家更为省钱？•1.某商店把一批存货当作处理品出售，若降低定价的5%出售，可盈利430元；若降低定价的25%出售，亏损250元。商品购入价应是多少元？（2800元）•2.某商场原来将一批水果按100%的利润定价出售，由于定价过高，无人购卖，不得不按78%的利润重新定价，这样售出了其中的40%.此时，因害怕剩余的水果腐烂，不得不再次降价售出了剩余的全部水果，结果实际获得的总利润是原定利润的30.2%.请问第二次降价后的价格是原定价的百分之几？（得数保留一位小数）（49.2%）•3.新新商贸公司为客户销售货物收取3%的服务费，代客户购买物品时收取2%的服务费，今有一客户委托公司销售自产的某种物品和代为购置新设备，已知该公司共收取了客户服务费264元，客户恰好收支平衡，报购置的新设备花了多少元？（5224.03元）三、工程问题•例1.师徒二人合作加工一批零件，需24天完成。现在先由师傅单独加工10天，再由徒弟单独加工30天，这时共加工了这批零件的75%，问徒弟每天能加工这批零件的几分之几？•解答（75%－1/24×10）÷（30－10）•例2.一件工作，甲单独做需50天完成，乙单独做需75天完成。先由甲、乙合做，中途乙因故停工，结果经过40天才完成全部工作。问乙做了多少天？•解答（1－1/50×40）÷1/75•例3.甲乙丙三人承包一项工程，发给他们的工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲乙两人合作6天完成了工程的1/3；因甲有事，由乙丙合作2天，完成余下工程的1/4；以后三人合作5天完成了这项工程。按完成工作量的多少来付酬，每人应得多少元？•例4.一项工程，如果乙单独做要17天完成；如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整天数完工；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流的做法要多半天才能完成。如果甲单独做，完成这项工程需要多少天？四、行程问题•例1.自行车出发20分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点12千米的地方追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点，到出发点后又立即去追继续前进的自行车队，再追上时恰好离出发点24千米。求自行车和摩托车的速度各是多少？（假设自行车和摩托车的速度都是匀速）•例2.甲从A到B需要6小时，乙从B到A的速度是甲的3/4.现在甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，在途中相遇后，两人继续以原速前进，各自到达对方出发地后又立即返回，在途中又一次相遇。已知这两个相遇地点相距60千米。求甲每小时行多少千米？五、比和比例的应用•1.A、B、C三根木棒插在水池中，三根木棒长度和是