苏州大学2001年数学分析试题解答

苏州大学2001年数学分析试题解答luting5第1页共6页苏州大学2001年数学分析试题解答1.(15)(),1lim()(),2(),lim()lim()lim()(,()2,,,()()xxxxfxafxfxafxafxfxfxAAMxMfxAxxMxxfxfx设在上连续（）若存在且有极限，证明：在上一致连续（）若在上一致连续,存在吗？回答并说明理由。证明：（1）由于存在且有极限，设有限）所以存在当时，有且则()()22(),()(),,lim()limxxfxAfxAfxMfxfxaafxx从而在上一致连续，由在a,M上一致连续所以在上一致连续（2）不一定。例如：f(x)=x,显然f(x)在上一致连续但不存在00000002.(10),(,),,,(),(,),,(),()()()0,()()0,,)0()fabfababxabfxxabfababfabfaafbbFafaaFbfbbxabxfxx设是上的连续函数，且证明：存在使得证明：令F(x)=f(x)-x,F(x)在上连续由于且在上连续则因此从而由连续函数的介值定理知，存在使得F(即苏州大学2001年数学分析试题解答luting5第2页共6页111111113.(15)()11,1111,11111ln)()xnxaaxnnxnxxxnnnSxnabannnnnnnnn证明函数在（，）内无穷可微证明：且ab,x[a,b]因为而时，在[a,b]上收敛，从而在[a,b]上一致收敛由a,b的任意性知，在（，）上一致收敛所以S(x)连续且可导S(x)=(x12121121lnln(1)lnln1(0),limlim01ln()()1ln()(1)lnlnxannankkxnkxnnannnnannnnnnSxSxnxnnnn=1(k)[a,b],有令而收敛x[a,b]，因此收敛从而在[a,b]上一致收敛，由a,b的任意性知，在（，）内连续可微k0,Sx[a,b],有1(1)ln()(1)11kakkxnnannxn(k)用上所证，S在（，）上一致收敛从而S(x)在（，）内无穷可微苏州大学2001年数学分析试题解答luting5第3页共6页2222224.(10),02{,2222,0SVSIxdydzydzdxzdxdySzhhzhSxdydzydzdxzdxdyxyzdxdydzxyzdxdydzrh122211S求曲面积分其中为锥面zxy在部分的下侧。22xy解：令S且方向向上，取向上为正则令S他方向向外并且封闭，由高斯公式得x=rc令{y=rsin222400022224222222444,0222sincos222hrSxyzdxdydzddrrrzrdzhxdydzydzdxzdxdyhdxdyhIxdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdyhhh1111SSSSos2110120212122115.(15)01()22342cos()14()cos3()0,(0)1141cos3()16nnnnnnfxdxanxdxnfxnxnxfnxnn2202在（，）上把f(x)=(x-1)展成余弦级数并且求解：把进行周期延拓（偶延拓）a(x-1)(x-1)?…从而令则苏州大学2001年数学分析试题解答luting5第4页共6页211211116.(10)(,)(,)11{21112{11(,)xxyyfxyRdxfxydyxxyxyyxyfxydx21设是上的连续函数，试交换累次积分的积分次序解：从而从而交换后的累次积分为dy32.521.510.5-0.5-3-2-1123y=g(x)y=f(x)gx=x+1fx=x2+1苏州大学2001年数学分析试题解答luting5第5页共6页37.(15)(),(1)()(2)(1)()()())00()021()32(0),(),(333fxxbxcbcfxfxfxbfxbbfxbbfxbbbfcfbcf002220设和为参数求出有极值的充要条件根据与的草图，求出有三个相异零点的充要条件解：(1)f(x)=3x要有极值,则f(x3x3x即有极值的充要条件为（）由（）知道有极值，且极值点为----4),333()6,()0,()0,3333()()0()033240033334203333bbcbbbbfxxffbbfxffbbbcbcbbbcbb---所以-为极小值点，-极大值点从而当有三个相异零点时，-且-即-且-即---且苏州大学2001年数学分析试题解答luting5第6页共6页211122200028.(10)()[01]max(),[01]()()411()))(())1()()1()()()4fxMfxdxmMfxmMfxdxdxfxdxfxfxdxfxdxmMfxmM110011001100设是，上的连续函数，f(x)0,m=minf(x),x，，证明：1f(x)dx证明：由希瓦兹不等式知（（即f(x)dx下证f(x)dx由1100111100001100()00()(())(())(),()0(),()()2()()14()()fxmfxMfxmMfxFxFxfxmMfxmMdxfxmMmMdxdxdxdxfxfxmMdxdxfxdxfx2于构造展开有(M+m)f(x)+两边积分(M+m)dxf(x)+即有(M+m)f(x)f(x)从而(M+m)f(x)即有f(x)dx2()4mMmM1100