苏教版必修4《第二章平面向量》综合检测试卷含答案解析

(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)1.设平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，则a－2b＝________．解析：∵a＝(3，5)，b＝(－2，1)，∴a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)．答案：(7，3)2.在四边形ABCD中，AB→＝DC→，且|AB→|＝|BC→|，那么四边形ABCD为________．解析：由AB→＝DC→可得四边形ABCD是平行四边形，由|AB→|＝|BC→|得四边形ABCD的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形．答案：菱形3.已知A(4，1)，B(1，－12)，C(x，－32)，若A、B、C共线，则x等于________．解析：∵AB→＝(－3，－32)，BC→＝(x－1，－1)，又∵AB→∥BC→，∴(－3)·(－1)－(－32)·(x－1)＝0得－32(x－1)＝3，解得x＝－1.答案：－14.有下列命题：①AB→＋BC→＋AC→＝0；②(a＋b)·c＝a·c＋b·c；③若AB→的起点为A(2，1)，终点为B(－2，4)，则BA→与x轴正向夹角的余弦值是45.其中正确命题的序号是________．解析：∵AB→＋BC→＋AC→＝2AC→，∴①错；②是数量积的分配律，正确；在③中，BA→＝(4，－3)与x轴正向夹角的余弦值是45，故③正确．答案：②③5.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→，则点O是△ABC的________．解析：∵OA→·OB→＝OB→·OC→，∴OB→·(OA→－OC→)＝0，∴OB→·CA→＝0，∴OB⊥CA.同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为垂心．答案：垂心6.若|a|＝|b|＝1，a⊥b且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，则k的值为________．解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，又∵(2a＋3b)⊥(ka－4b)，∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，得2ka2－12b2＝0，又a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，解得k＝6.答案：67.已知a＝(3，4)，b⊥a，且b的起点为(1，2)，终点为(x，3x)，则b等于________．解析：b＝(x－1，3x－2)，∵a⊥b，∴a·b＝0，即3(x－1)＋4(3x－2)＝0，解得x＝1115，所以b等于(－415，15)．答案：(－415，15)8.等边△ABC的边长为1，AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，那么a·b＋b·c＋c·a等于________．解析：由已知|a|＝|b|＝|c|＝1，∴a·b＋b·c＋c·a＝cos120°＋cos120°＋cos120°＝－32.答案：－329.若向量a、b、c是单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：由3a＋λb＋7c＝0，得7c＝－3a－λb，∴(7c)2＝(－3a－λb)2＝9a2＋6λa·b＋λ2b2，∴λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝5或－8.答案：－8或510.在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F.若AC→＝a，BD→＝b，则AF→＝________．解析：如图．∵△DEF∽△BEA，∴DFAB＝DEEB＝13.∴DF＝13AB＝13DC.∴CF＝23DC.∴AF→＝AC→＋CF→＝a＋23CD→＝a＋23(CO→＋OD→)＝a＋23－12a＋12b＝23a＋13b.答案：23a＋13b11.已知a、b、a－b的模分别为2，3，7，则a与b的夹角为________．解析：∵(a－b)2＝7，∴a2－2a·b＋b2＝7，∴a·b＝3；∴cosθ＝a·b|a||b|＝12，又θ∈[0，π]，∴θ＝π3.答案：π312.已知向量a、b的夹角为π3，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b||a－b|的值是________．解析：∵a·b＝|a||b|cosπ3＝2×1×12＝1，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×1＋12＝7，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝22－2×1＋1＝3，∴|a＋b|2|a－b|2＝3×7＝21，∴|a＋b||a－b|＝21.答案：2113.已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－b，c⊥d，则m的值为________．解析：a·b＝|a||b|cos60°＝3，∵c⊥d，∴c·d＝0，即(3a＋5b)(ma－b)＝0，∴3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，∴27m＋3(5m－3)－20＝0，解得m＝2942.答案：294214.在△ABC中，D为BC边上一点，BD＝3DC，若P是AD边上一动点且AD＝2，则PA→·(PB→＋3PC→)的最小值为________．解析：因为PB→＝PD→＋DB→，PC→＝PD→＋DC→，且DB→＝－3DC→，所以PB→＋3PC→＝PD→＋DB→＋3(PD→＋DC→)＝4PD→.设|PA→|＝x(0≤x≤2)，故PA→·(PB→＋3PC→)＝PA→·4PD→＝－4x(2－x)≥－4，所以当x＝1时，PA→·(PB→＋3PC→)的最小值为－4.答案：－4二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N是DC、BA的中点，设AD→＝a，AB→＝b，试以a、b为基底表示BC→、MN→.解：∵AB∥CD且AB＝2CD，∴DC→＝12AB→＝12b；又AD→＝a，∴AC→＝AD→＋DC→＝a＋12b；又BC→＝AC→－AB→，∴BC→＝a＋12b－b＝a－12b；过D作DE∥MN，则E为AN中点，∴AE→＝14b；∴MN→＝DE→＝AE→－AD→＝14b－a.16.(本小题满分14分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°.求(1)(2a－b)·(a＋3b)；(2)|a－b|.解：a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×(－12)＝－3，(1)(2a－b)(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝8－15－27＝－34.(2)|a－b|＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝4＋6＋9＝19.17.(本小题满分14分)已知：在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AB上的中线CD＝m，求证：a2＋b2＝12c2＋2m2.证明：∵BC→＝BD→＋DC→，AC→＝AD→＋DC→，两式平方相加可得a2＋b2＝12c2＋2m2＋2(BD→·DC→＋AD→·DC→)，∵BD→·DC→＋AD→·DC→＝|BD→||DC→|·cos∠ADC＋|AD→||DC→|cos∠CDB＝0，∴a2＋b2＝12c2＋2m2.18.(本小题满分16分)已知向量a＝(2，1)，b＝(m，2)，它们的夹角为θ，当m取何值时，θ为(1)直角；(2)锐角；(3)钝角？解：由a＝(2，1)，b＝(m，2)得|a|＝5，|b|＝m2＋4，a·b＝2m＋2.(1)θ为直角⇔x1x2＋y1y2＝0⇔2m＋2＝0⇔m＝－1.(2)θ为锐角⇔x1x2＋y1y2＞0，x1x2＋y1y2≠x21＋y21·x22＋y22⇔2m＋2＞0，2m＋2≠5·m2＋4⇔m＞－1，（m－4）2≠0⇔m＞－1且m≠4.(3)θ为钝角⇔x1x2＋y1y2＜0，x1x2＋y1y2≠－x21＋y21·x22＋y22⇔2m＋2＜0，2m＋2≠－5·m2＋4⇔m＜－1，（m－4）2≠0⇔m＜－1.故当m＝－1时，θ为直角．当m＞－1且m≠4时，θ为锐角．当m＜－1时，θ为钝角．19.(本小题满分16分)设OA→＝(2，5)，OB→＝(3，1)，OC→＝(6，3)，在OC→上是否存在点M，使MA→⊥MB→？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设存在点M(x，y)满足条件，则OM→＝λOC→＝(6λ，3λ)(0λ≤1)，∴MA→＝(2－6λ，5－3λ)，MB→＝(3－6λ，1－3λ)．∵MA→⊥MB→，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴OM→＝(2，1)或225，115，故存在点M(2，1)或点M225，115满足题意．20.(本小题满分16分)某人在静水中游泳，速度为43千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳．(1)若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？解：(1)如图(1)，设人游泳的速度为OB→，水流的速度为OA→，以OA→、OB→为邻边作▱OACB，则此人的实际速度为OA→＋OB→＝OC→，由勾股定理知|OC→|＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时．(2)如图(2)，设此人的实际速度为OD→，水流速度为OA→，则游速为AD→＝OD→－OA→，在Rt△AOD中，|AD→|＝43，|OA→|＝4，|OD→|＝42，cos∠DAO＝33.故此人沿与河岸的夹角余弦为33的逆着水流的方向前进，实际前进的速度大小为42千米/时．