1.3 线段的垂直平分线(1)

线段垂直平分线的性质：定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．NAPBCM证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS)；∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．CBPA线段垂直平分线的判定：定理：到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．证明：过点P作PC⊥AB，垂足为Ｃ；∵PA=PB；∴AC=BC．∴PC是线段AB的垂直平分线；∴P点在AB的垂直平分线上．（三线合一）（1）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。（2）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；因此只需做出这样的两个点即可做出线段的垂直平分线。总结：想一想，做一做已知：如图1-18，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC．证明：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上；（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点O在线段BC的垂直平分线上.∴直线AO是线段BC的垂直平分线.（两点确定一条直线）随堂练习1.已知：如图AB是线段CD的垂直平分线，E、F是AB上两点。求证：∠ＥＣＦ＝∠ＥＤＦ。证明：∵AB是线段CD的垂直平分线，∴EC=ED，FC=FD；（垂直平分线性质定理）∵EF=EF；（公共边）∴△ECF≌△EDF（SSS）证明：∵AB是线段CD的垂直平分线，∴EC=ED，FC=FD；（垂直平分线性质定理）∴∠ECD=∠EDC，∠FCD=∠FDC.（等边对等角）∴∠ECD+∠FCD=∠EDC+∠FDC；（等量代换）即∠ＥＣＦ＝∠ＥＤＦ。随堂练习1.已知：如图AB是线段CD的垂直平分线，E、F是AB上两点。求证：∠ＥＣＦ＝∠ＥＤＦ。2.在△ABC中，点D为BC上一点，连接AD，点E在线段AD上，并且∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD垂直平分BC.3412BCAED随堂练习证明：∵∠1=∠2，∠3=∠4;∴∠1+∠3=∠2+∠4,（等量代换）即∠ABD=∠ACD．∴EB=EC，AB=AC；（等角对等边）∴点A、E在线段BC的垂直平分线上；（垂直平分线判定定理）∴AB是线段CD的垂直平分线．（两点确定一条直线）随堂练习3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ＢＡＣ＝１２０°，AB的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交BC于点F，连接AF，求∠ＡＦＣ的度数。证明：∵AB=AC，∠ＢＡＣ＝１２０°；∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝（１８０°－１２０°）÷２＝３０°．（等边对等角，三角形内角和定理）∵ＥＦ是线段ＡＢ的垂直平分线；∴ＦＢ＝ＦＡ．（线段垂直平分线性质定理）∴∠EAF=∠Ｂ=30°；（等边对等角）∴∠ＡＦＣ＝∠EAF＋∠Ｂ=６0°.（三角形外角的性质）课堂小结一、线段垂直平分线的性质定理．到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．二、线段垂直平分线的判定定理．作业1.已知：MN是线段AB的垂直平分线，C、D是MN上的两点。求证：（1）△ABC、△ABD是等腰三角形；（2）∠ACD=∠BCD。3.完成习题1.7（写在课本上）预习课本２４～２６页。4．如图，在△ABC中，BC边的中垂线交BC于点D，交AB于点E．若CE平分∠ACB，∠B=40°，求∠BCE，∠AEC，∠A的度数.