1.3.1函数单调性与导数

单调性的定义对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数的单调性。yx2(,0)(0,)33?yxxxyo2yx函数在上为____函数，在上为____函数。图象法定义法减增如图：如图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10.的图象.htoabvtoba观察:2.请问运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?如图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t）的图象v（t)=h′(t)1.求t=2秒时的瞬时速度xyoY′=1xyoy=xy=xxyo2xyoy′=2Xab(,)在某个区间内,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减注意：应正确理解“某个区间”的含义,它必是定义域内的某个区间。课本思考思考1：如果在某个区间内恒有，那么函数有什么特性？'()0fx()fx()fx是常数函数。2121()()yfxfxxxx1122()A(,())B(,())yfxxfxxfx表示过函数图象上两点、的直线斜率。几何意义：关系：12,()xxyfx当区间()的长度很小时，平均变化率可以近似地反映函数在这个区间的单调性。思考2：结合函数单调性的定义，思考某个区间上函数的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。()fx利用导数的符号来判断函数单调性:设函数y＝f(x)在某个区间内可导（1）如果f'(x)＞0，则f(x)为增函数；（2）如果f'(x)＜0，则f(x)为减函数．若某个区间内恒有f'(x)＝0，则f(x)为常数函数．例1、已知导函数的下列信息：'()fx当1x4时，0;当x4,或x1时，0;当x=4,或x=1时，=0.则函数f(x)图象的大致形状是(）。'()fx'()fx'()fx()yfxxyo14xyo14xyo14xyo14ABCD()yfx()yfx()yfxD导函数f’(x)的------与原函数f(x)的增减性有关正负1．应用导数求函数的单调区间(选填:“增”,“减”,“既不是增函数,也不是减函数”)(1)函数y=x－3在[－3，5]上为__________函数。(2)函数y=x2－3x在[2，+∞)上为_____函数，在(－∞,1]上为______函数。基础训练：增增减利用导数确定函数的单调性的步骤：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求出函数的导数；（3）解不等式f(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f(x)＜0，得函数的单调递减区间．求函数的单调区间。变1：求函数的单调区间。3233yxx233yxx理解训练：'63yx解：11'0,'022yxyx令得令得233yxx1(,)2的单调递增区间为单调递减区间为1(,)2解：2'963(32)yxxxx2'003yxx令得或2'003yx令得3233yxx的单调递增区间为单调递减区间为2(0,)32(,0),(,)3变3：求函数的单调区间。1yx变2：求函数的单调区间。33xyex巩固提高：'01xye令得解:'33xye33(0,)xyex的单调递增区间为(,0)单调递减区间为0'010xeyex令得0x0e解:21'0,yx0,x但1(,0)(0,)yx的单调递减区间为，注意:单调区间不可以并起来.例3、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1)f(x)=x3+3x;解：=3x2+3=3(x2+1)0)(xf从而函数f(x)=x3+3x在x∈R上单调递增，见右图。xyoxxxf3)(3xyo132)(2xxxf(2)f(x)=x2-2x-3;解：=2x-2=2(x-1))(xf图象见右图。当0，即x1时，函数单调递增；)(xf当0，即x1时，函数单调递减；)(xfxyoxxxfsin)((3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p)解：=cosx-10)(xf从而函数f(x)=sinx-x在x∈(0,p)单调递减，见右图。(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;解：=6x2+6x-24=6(x2+x-4))(xf当0，即时，函数单调递增；)(xf21712171xx或xyo图象见右图。当0，即时，函数单调递减；21712171x)(xf(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？例4、如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象。设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()()fx'()fx'()yfx()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo'()yfx2(A)(B)(C)(D)C322(),,,30()()()()()fxxaxbxcabcabfxRABCD函数其中为常数，当时，在上()增函数减函数常数既不是增函数也不是减函数Aab(,)在某个区间内,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减选做：的单调区间。求函数32)1)(12(xxy