2010年高考数学导数题型解法

专题十导数解答题的解法试题特点专题十导数解答题的解法1.近三年高考各试卷导数考查情况统计2006年高考各地的18套试卷中，有14道导数题，其中考查求导法则的有5道，考查单调性的有8道，考查极值的有5道，与不等式综合的有5道，与函数综合的有6道.2007年高考各地的19套试卷中，有15道导数题，其中考查求导法则的有3道，考查单调性的有7道，考查极值的有6道，与不等式综合的有7道，与函数综合的有8道,与数列、三角综合的各1道.由此可看出，导数一般与函数相综合，考查不等式、导数的应用等知识.试题特点专题十导数解答题的解法2.主要特点(1)导数是中学选修内容中最为重要的内容，导数为解决函数问题、曲线问题提供了一般性的方法，由于导数可与函数、不等式等许多知识进行整合，有利于在“知识网络交汇点”处命题，合理设计综合多个知识点的试题，考查分类整合、数形结合等数学思想方法，因此，近几年来加大了导数的考查力度.主要有如下几方面：①应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性；②应用导数求函数的极值与最值；③应用导数解决实际问题.④应用导数解决有关不等式问题.应试策略专题十导数解答题的解法1.求导数有两种方法:一是利用导数定义;二是利用基本函数的导数公式、四则运算法则及复合函数的求导法则求导，常用后一种方法.2.要重视导数在研究函数问题或实际问题时的应用.(1)求可导函数单调区间的方法：①确定函数f(x)的定义域;②求方程f′(x)=0的解，这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间；③研究各小区间上f′(x)的符号，f′(x)＞0时，该区间为增区间,反之则为减区间.应试策略专题十导数解答题的解法(2)求函数极值点时，可能出现极值的点是f′(x)=0或使f′(x)不存在的点，注意f′(x)=0不是有极值的充分条件.(3)连续函数在闭区间上必有最值，求最值时不要忘记极值与端点处的函数值的大小比较.(4)解最值应用题时，要认真审题，分析各量的关系，列出函数y=f(x),并确定定义域，然后按照步骤求函数的最值，最后根据实际意义作答.若f(x)在定义域区间上只有一个极值点，则这个极值点一定是最值点.考题剖析专题十导数解答题的解法1.已知抛物线y=x2－4与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为l1和l2.（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线l1与l2的夹角.［分析］理解导数的几何意义是解决本例的关键.考题剖析专题十导数解答题的解法［解析］（1）由方程组,解得A(－2，0)，B(3，5)（2）由y′=2x，则y′|x=－2=－4，y′|x=3=6.设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式，tanθ=所以θ=arctan242xyxy23106)4(1642310［点评］本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点物线的切线.注意两条直线的夹角公式有绝对值符号.2.（2007·湘潭市高三调研题）已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极小值－4，使其导函数f′(x)＞0的x的取值范围为（1，3），求：（1）f（x）的解析式；（2）f（x）的极大值；（3）x∈［2，3］，求g(x)=f′(x)+6(m－2)x的最大值.考题剖析专题十导数解答题的解法［解析］（1）由题意得：f′(x)=3ax2+2bx+c=3a(x－1)(x－3)(a＜0)∴在（－∞，1）上，f′(x)＜0；在（1，3）上，f′(x)＞0；在（3，+∞）上，f′(x)＜0；因此，f（x）在x0=1处取得极小值－4∴a+b+c=－4①①②③联立得：∴f（x）=－x3+6x2－9x③0627)3(②023)1(cbafcbaf考题剖析专题十导数解答题的解法961cba（2）由（1）知f（x）在x=3处取得极大值为：f（3）=0（3）g(x)=－3(x－1)（x－3）+6(m－2)x=－3(x2－2mx+3)①当2≤m≤3时，g(x)max=g(m)=－3(m2－2m2+3)=3m2－9;②当m＜2时，g（x）在［2，3］上单调递减，g(x)max=g(2)=12m－21③当m＞3时，g（x）在［2，3］上单调递增，g(x)max=g(3)=18m－36考题剖析专题十导数解答题的解法［点评］本题求解需要准确理解极值的含义以及方程零点与不等式解的关系.3.（2007·武汉调研题)已知函数f(x)=x3+ax2－(2a+3)x，其中a＞0.（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）设m＞0，若f(x)在闭区间［m,m+1］上的最小值为－3，最大值为0，求m,a的值.考题剖析专题十导数解答题的解法［解析］（Ⅰ）f′(x)=3x2+2ax－(2a+3)，令f′(x)=0,得x1=1,x2=－,∵a＞0,∴x2＜－1∴x≤x2时f′(x)≥0，x2＜x＜x1时f′(x)＜0，x≥x1时，f′(x)≥0.所以f(x)在(－∞,－］,［1,+∞)上是增函数，在(－,1)上是减函数.考题剖析专题十导数解答题的解法332a332a332a考题剖析专题十导数解答题的解法（Ⅱ）因为m＞0,所以m+1＞1，由（1）的单调区间得：①当0＜m＜1时，m+1∈(1,2)，f(x)min=f(1)=－3,a=1，此时f(x)=x3+x2－5x从而f(m)=m(m2+m－5)＜0，所以f(x)max=f(m+1)=0,m=，此时f(m)=m(m2+m－5)=－2m(m+1)∈(－3,0)，适合.2321考题剖析专题十导数解答题的解法②当m≥1时，f(x)在［m,m+1］上是增函数，所以最小值f(m)=m(m2+am－2a－3)=－3（*）最大值f(m+1)=(m+1)［(m+1)2+a(m+1)－(2a+3)］=0，即m2+am－(2a+3)=－2m－1－a，代入（*）得－m(2m+1+a)=－3即m(2m+1+a)=3，∵m≥1,a＞0,∴m(2m+1+a)＞3所以a,m不存在.综上所述知：m=,a=12321考题剖析专题十导数解答题的解法［点评］本题考查导数的应用，求单调性，求函数的单调递增区间，即为解不等式f′(x)＞0,单调递减区间,即为解不等式f′(x)＜0,但已知函数在某区间上单调递增,则有f′(x)≥0,单调递减则为f′(x)≤0.考题剖析专题十导数解答题的解法4.(2007·襄樊市高三调研测试题)已知函数f(x)=ax3+3x2－6ax+b，g(x)=3x2+6x+12，h(x)=kx+9，又f(x)在x=2处取得极值9.(1)求a、b的值；(2)如果当x∈［－2，+∞)时，f(x)≤h(x)≤g(x)恒成立，求k的取值范围.［解析］(1)f′(x)=3ax2+6x－6a由已知9)2(0)2(ff912128061212baaaa解得a=－2，b=－11考题剖析专题十导数解答题的解法考题剖析专题十导数解答题的解法(2)由h(x)≤g(x)得：kx≤3x2+6x+3当x=0时，不等式恒成立当－2≤x＜0时，不等式为k≥3(x+)+6①而3(x+)+6=－3［(－x)+(－)］+6≤0，∴要①式恒成立，则k≥0当x＞0时，不等式为k≤3(x+)+6②而3(x+)+6≥12，∴要②恒成立，则k≤12x1x1x1x1x1∴当x∈［－2，+∞)时，h(x)≤g(x)恒成立，则0≤k≤12由f(x)≤h(x)得：kx+9≥－2x3+3x2+12x－11当x=0时，9≥－11恒成立当－2≤x＜0时，k≤－2x2+3x+12－=－2(x－)2+－令t(x)=－2(x－)2+－，当－2≤x＜0时，t(x)是增函数，∴t(x)≥t(－2)=8∴要f(x)≤h(x)在－2≤x＜0恒成立，则k≤8x208105x20438105x20考题剖析专题十导数解答题的解法43考题剖析专题十导数解答题的解法由上述过程可知，只要考虑0≤k≤8f′(x)=－6x2+6x+12=－6(x+1)(x－2)当x∈(0，2］时，f′(x)＞0，当x∈(2，+∞)时，f′(x)＜0故f(x)在x=2时有极大值，即f(x)在x=2时有最大值f(2)=9，即f(x)≤9又当k＞0时，h(x)是增函数，∴当x∈［0，+∞)时，h(x)≥9，f(x)≤h(x)成立综上，f(x)≤h(x)≤g(x)恒成立时k的取值范围是0＜k≤85.（厦门双十中学模拟题）已知函数f(x)=ax3+bx2－3x,其图象在横坐标为±1的两点处的切线均与x轴平行，（1）求函数f(x)的解析式；（2）对于区间［－1，1］上任意两个自变量的值x1,x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤k，试求k的最小值；（3）若过点A（1，m）（m≠－2）可且仅可作曲线y=f(x)的一条切线，求实数m的取值范围.考题剖析专题十导数解答题的解法考题剖析专题十导数解答题的解法［解析］（1）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0即，解得a=1,b=0.∴f(x)=x3－3x.03230323baba考题剖析专题十导数解答题的解法（2）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，故f(x)在区间［－1,1］上为减函数，f(x)max=f(－1)=2,f(x)min=f(1)=－2∵对于区间［－1，1］上任意两个自变量的值x1,x2都有|f(x1)－f(x2)|≤|f(x)max－f(x)min|,|f(x1)－f(x2)|≤|f(x)max－f(x)min|≤2－(－2)=4.即|f(x1)－f(x2)|max=4.∴k≥4∴k的最小值为4考题剖析专题十导数解答题的解法（3）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0,y0），则点M的坐标满足y0=－3x0因f′(x0)=3(－1)，故切线的斜率为k=3(－1)=kAM=整理得2－3+m+3=0（注：也可以先写出切线方程，然后将点A的坐标代入得到左式）∵过点A（1，m）仅可作曲线的一条切线，∴关于x0方程2－3+m+3=0有且仅有一个实根，130030xmxx30x20x20x30x20x30x20x考题剖析专题十导数解答题的解法设g(x0)=2－3+m+3，则g′(x0)=6－6x0，从g′(x0)＞0得x0＞1或x0＜0,从g′(x0)＜0得0＜x0＜1∴函数g(x0)=2－3+m+3在区间(－∞，0)和(1，+∞)为增函数，在(0，1)上为减函数，g(x0)的极大、极小值点分别为x0=0,x0=1∴不是单调函数，关于x0方程2－3+m+3=0有且仅有一个实根的充要条件是：g(x)极大=g(0)=m+3＜0,∴m＜－3或g(x)极小=g(1)=2+m＞0,∴m＞－2故所求的实数a的取值范围是{m|m＜－3或m＞－2}30x20x20x30x20x30x20x［点评］只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题.解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式.考题剖析专题十导数解答题的解法6.（2007·江门市质检题）设三次函数h(x)=px3+qx2+rx+s满足下列条件:h(1)=1,h(－1)=－1,在区间（－1，1）上分别取得极大值1和极小值－1，对应的极点分别为α，β.(1)证明：α+β=0；(2)求h（x）的表达式；(3)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在（－1，1）上满足－1＜f(x)＜1.证明当|x|＞1时，有|f(x)|＜|h(x)|.考题剖析专题十导数解答题的解法考题剖析专题十导数解答题的解法［解析］（1）证明：由h(1)=1,h(－1)=－1得q+s=0,r+p=1h(x)=px3－sx2+(1－p)x+sh′(x)=3px2－2sx+1－p因为（－1，1）内有两极值且h(1)=1,所以有p＞0h(α)+h(β)=p(α3+β3)－s(α2+β2)+(1－p)(α+β)+2