2014高考真题向量专题练习(答案版)

1平面向量专题练习一、平面向量的概念及其线性运算1．[2014·福建卷]设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于()A.OM→B．2OM→C．3OM→D．4OM→答案：D[解析]如图所示，因为M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以M是AC与BD的中点，即MA→＝－MC→，MB→＝－MD→.在△OAC中，OA→＋OC→＝(OM→＋MA→)＋(OM→＋MC→)＝2OM→.在△OBD中，OB→＋OD→＝(OM→＋MB→)＋(OM→＋MD→)＝2OM→，所以OA→＋OC→＋OB→＋OD→＝4OM→，故选D.2．[2014·江西卷]已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝13.若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________．答案：3[解析]因为|a|2＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9×1－12×1×1×13＋4×1＝9，所以|a|＝3.3．[2014·辽宁卷]设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝20，b·c＝0，则＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()A．p∨qB．p∧qC．(非p)∧(非q)D．p∨(非q)答案：A[解析]由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q为真命题．4．[2014·全国新课标卷Ⅰ]设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→＝()A.AD→B.12AD→C.12BC→D.BC→答案：A[解析]EB＋FC＝EC＋CB＋FB＋BC＝12AC＋12AB＝AD.5．[2014·四川卷]平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________．答案：2[解析]c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，由题意知a·c|a|·|c|＝b·c|b|·|c|，即（1，2）·（m＋4，2m＋2）12＋22＝（4，2）·（m＋4，2m＋2）42＋22，即5m＋8＝8m＋202，解得m＝2.二、平面向量基本定理及向量坐标运算36．[2014·北京卷]已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝()A．(5，7)B．(5，9)C．(3，7)D．(3，9)答案：A[解析]2a－b＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7)．7．[2014·广东卷]已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a＝()A．(－2，1)B．(2，－1)C．(2，0)D．(4，3)答案：B[解析]b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．8．[2014·湖北卷]若向量OA→＝(1，－3)，|OA→|＝|OB→|，OA→·OB→＝0，则|AB→|＝________．答案：25[解析]由题意知，OB→＝(3，1)或OB＝(－3，－1)，所以AB＝OB－OA＝(2，4)或AB＝(－4，2)，所以|AB|＝22＋42＝25.9．[2014·山东卷]已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为π6，则实数m＝()A．23B.3C．0D．－3答案：B[解析]由题意得cosπ6＝a·b|a||b|＝3＋3m29＋m2，即32＝3＋3m29＋m2，解得m＝3.10．[2014·陕西卷]设0＜θ＜π2，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝4(1，－cosθ)，若a·b＝0，则tanθ＝______.答案：.12[解析]由a·b＝0，得sin2θ＝cos2θ.又0θπ2，∴cosθ≠0，∴2sinθ＝cosθ，则tanθ＝12.11．[2014·陕西卷]在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且OP→＝mAB→＋nAC→(m，n∈R)．(1)若m＝n＝23，求|OP→|；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．解：(1)∵m＝n＝23，AB→＝(1，2)，AC→＝(2，1)，∴OP→＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)，∴|OP→|＝22＋22＝22.(2)∵OP→＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，∴x＝m＋2n，y＝2m＋n，两式相减，得m－n＝y－x.5令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.12．[2014·四川卷]平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________．答案：2[解析]c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，由题意知a·c|a|·|c|＝b·c|b|·|c|，即（1，2）·（m＋4，2m＋2）12＋22＝（4，2）·（m＋4，2m＋2）42＋22，即5m＋8＝8m＋202，解得m＝2.三、平面向量的数量积及应用13．[2014·湖北卷]若向量OA→＝(1，－3)，|OA→|＝|OB→|，OA→·OB→＝0，则|AB→|＝________．答案：25[解析]由题意知，OB→＝(3，1)或OB＝(－3，－1)，所以AB＝OB－OA＝(2，4)或AB＝(－4，2)，所以|AB|＝22＋42＝25.14．[2014·江苏卷]如图1­3所示，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP→＝3PD→，AP→·BP→＝2，则AB→·AD→的值是________．6图1­3答案：22[解析]因为CP＝3PD，AP·BP＝2，所以AP＝AD＋DP＝AD＋14AB，BP＝BC＋CP＝AD－34AB，所以AP·BP＝AD→＋14AB·AD－34AB＝AD2－12AD·AB－316AB2＝2.又因为AB＝8，AD＝5，所以2＝25－316×64－12AB·AD，故AB·AD＝22.15．[2014·全国卷]已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝()A．－1B．0C．1D．2答案：B[解析]因为a，b为单位向量，且其夹角为60°，所以(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos60°－|b|2＝0.16．[2014·重庆卷]已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b＝________．答案：10[解析]∵|a|＝（－2）2＋（－6）2＝210，∴a·b＝|a||b|cos60°＝210×10×12＝10.17．[2014·山东卷]已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)，若向量a，b7的夹角为π6，则实数m＝()A．23B.3C．0D．－3答案：B[解析]由题意得cosπ6＝a·b|a||b|＝3＋3m29＋m2，即32＝3＋3m29＋m2，解得m＝3.18．[2014·天津卷]已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE→·AF→＝1，则λ的值为________．答案：2[解析]建立如图所示的坐标系，则A(－1，0)，B(0，－3)，C(1，0)，D(0，3)．设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由BC→＝3BE→，得(1，3)＝3(x1，y1＋3)，可得E13，－233；由DC→＝λDF→，得(1，－3)＝λ(x2，y2－3)，可得F1λ，3－3λ.∵AE·AF＝43，－233·1λ＋1，3－3λ＝103λ－23＝1，∴λ＝2.19．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|8＝6，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5答案：A[解析]由已知得|a＋b|＝10，|a－b|2＝b，两式相减，得a·b＝1.四、单元综合20．[2014·浙江卷]设θ为两个非零向量a，b的夹角．已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1()A．若θ确定，则|a|唯一确定B．若θ确定，则|b|唯一确定C．若|a|确定，则θ唯一确定D．若|b|确定，则θ唯一确定答案：B[解析]|b＋ta|≥1，则a2t2＋2|a||b|tcosθ＋b2的最小值为1，这是关于t的二次函数，故最小值为4a2b2－4（|a||b|cosθ）24a2＝1，得到4a2b2sin2θ＝4a2，故|b|sinθ＝1.若|b|确定，则存在两个θ满足条件，且两个θ互补；若θ确定，则|b|唯一确定．故选B.21．[2014·安徽卷]设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成，若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()9A.2π3B.π3C.π6D．0答案：B[解析]令S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4，则可能的取值有3种情况：S1＝2＋2，S2＝＋＋2a·b，S3＝4a·b.又因为|b|＝2|a|.所以S1－S3＝2a2＋2b2－4a·b＝2()a－b20，S1－S2＝a2＋b2－2a·b＝(a－b)20，S2－S3＝(a－b)20，所以S3S2S1，故Smin＝S3＝4.设a，b的夹角为θ，则Smin＝4＝8|a|2cosθ＝4|a|2，所以cosθ＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.22．[2014·湖南卷]在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点D满足|CD→|＝1，则|OA→＋OB→＋OD→|的取值范围是()A．[4，6]B．[19－1，19＋1]C．[23，27]D．[7－1，7＋1]答案：D[解析]由|CD→|＝1，得动点D在以点C为圆心，半径为1的圆上，故可设D(3＋cosα，sinα)，所以OA→＋OB→＋OD→＝(2＋cosα，3＋sinα)，所以|OA→＋OB→＋OD→|2＝(2＋cosα)2＋(3＋sinα)2＝8＋4cosα＋23sinα＝8＋27sin(α＋φ)，所以|OA→＋OB→＋OD→|2∈[8－27，8＋27]，即|OA→＋OB→＋OD→|∈[7－1，7＋1]．10