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考纲展示第八节函数与方程1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，求函数零点问题，难度较易；利用零点的存在性求相关参数的值，难度较大．高考对函数零点的考查主要有以下几个命题角度：(1)已知函数的零点或方程的根所在的区间，求参数；(2)已知函数的零点或方程的根的个数，求参数；(3)利用函数的零点比较大小．闯关一：了解考情，熟悉命题角度高频考点全通关——函数零点的应用【考情分析】【命题角度】【答案】A闯关二：典题针对讲解——利用函数的零点比较大小[例1](2013·天津高考)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则()A．g(a)0f(b)B．f(b)0g(a)C．0g(a)f(b)D．f(b)g(a)0【解析】∵f(x)在R上为增函数，且f(0)＝e0－20，f(1)＝e－10，又f(a)＝0，∴0a1.∵g(x)＝lnx＋x2－3，∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，又g(1)＝ln1－2＝－20，g(2)＝ln2＋10，且g(b)＝0，∴1b2，即ab，∴fbfa＝0，gagb＝0.高频考点全通关——函数零点的应用闯关二：典题针对讲解——已知函数的零点或方程的根所在的区间，求参数[例2](2011·山东高考)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a0，且a≠1)．当2a3b4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.【解析】∵2a3b4，∴f(x)＝logax＋x－b在(0，＋∞)上为增函数．当x＝2时，f(2)＝loga2＋2－b0；当x＝3时，f(3)＝loga3＋3－b0，∴f(x)的零点x0在区间(2,3)内，∴n＝2.【答案】2高频考点全通关——函数零点的应用闯关二：典题针对讲解——已知函数的零点或方程的根的个数，求参数[例3](2011·北京高考)已知函数f(x)＝2x，x≥2，x－13，x2.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．【解析】在同一坐标系中作出f(x)＝2x，x≥2，x－13，x2及y＝k的图象，如图．可知，当0k1时，y＝k与y＝f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)＝k有两个不同的实根．【答案】(0,1)高频考点全通关——函数零点的应用函数零点应用问题的常见类型及解题策略(1)已知函数零点求参数．根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．(2)已知函数零点的个数求参数．常利用数形结合法．(3)借助函数零点比较大小．要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．闯关三：总结问题类型，掌握解题策略高频考点全通关——函数零点的应用闯关四：及时演练，强化提升解题技能1.函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)解析：选C由条件可知f(1)f(2)0，即(2－2－a)(4－1－a)0，即a(a－3)0，解得0a3.高频考点全通关——函数零点的应用闯关四：及时演练，强化提升解题技能2.若函数f(x)＝xlnx－a有两个零点，则实数a的取值范围为()A.0，1eB.0，1eC.0，1eD.－1e，0解析：选D令g(x)＝xlnx，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点．由g′(x)＝lnx＋1，令g′(x)0，即lnx－1，可解得0x1e；令g′(x)0，即lnx－1，可解得x1e，所以，当0x1e时，函数g(x)单调递减；当x1e时，函数g(x)单调递增，由此可知，当x＝1e时，g(x)min＝－1e.作出函数g(x)和h(x)的简图，据图可得－1ea0.高频考点全通关——函数零点的应用闯关四：及时演练，强化提升解题技能3.已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，abc，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)0；②f(0)f(1)0；③f(0)f(3)0；④f(0)·f(3)0.其中正确结论的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④解析：选C由题设知f(x)＝0有3个不同零点．设g(x)＝x3－6x2＋9x，∴g(x)＝x(x2－6x＋9)＝x(x－3)2，令g(x)＝0，得x＝0或x＝3，g′(x)＝3x2－12x＋9，令g′(x)0，得x1或x3；令g′(x)0，得1x3，所以g(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上是单调递增的；在(1,3)上是单调递减的．g(1)＝4，作出g(x)的图象，如图所示．∴f(x)＝g(x)－abc，f(x)有3个零点，需将g(x)的图象向下平移至如图所示位置．由图象观察可知，f(0)f(1)0且f(0)f(3)0.高频考点全通关——函数零点的应用点击此处可返回目录