2015届高考数学(理)基础知识总复习精讲课件：第10章 第10节 二项分布、超几何分布、正态分布

高考总复习•数学（理科）第十节二项分布、超几何分布、正态分布第十章高考总复习•数学（理科）超几何分布【例1】某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：高考总复习•数学（理科）组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25,30)1200.6第二组[30,35)195p第三组[35,40)1000.5第四组[40,45)a0.4第五组[45,50)300.3第六组[50,55]150.3(1)补全频率分布直方图，并求n，a，p的值；(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队里年龄在[40,45)岁的人数为X，求X的分布列和期望E(X)．高考总复习•数学（理科）解析：(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为0.35＝0.06.频率直方图如下：高考总复习•数学（理科）第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n＝2000.2＝1000.由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3＝300，所以p＝195300＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.高考总复习•数学（理科）(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为6030＝21，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人．依题意知，随机变量X服从超几何分布，且x＝0,1,2,3.则P(X＝0)＝C012C36C318＝5204，P(X＝1)＝C112C26C318＝1568，P(X＝2)＝C212C16C318＝3368，P(X＝3)＝C312C06C318＝55204.高考总复习•数学（理科）所以随机变量X的分布列为X0123P52041568336855204数学期望E(X)＝0×5204＋1×1568＋2×3368＋3×55204＝2.高考总复习•数学（理科）点评：对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型.高考总复习•数学（理科）变式探究1．某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．(1)随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(2)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列．23高考总复习•数学（理科）解析：(1)依题意，设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A事件，“选取一等品通过检测或者是选取二等品通过检测”P(A)＝610＋410×23＝1315.测”P(A)＝610＋410×23＝1315.(2)由题可知：X可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C34C06C310＝130，P(X＝1)＝C24C16C310＝310，P(X＝2)＝C14C26C310＝12，P(X＝3)＝C04C36C310＝16.高考总复习•数学（理科）所以X的分布列为：X0123P1303101216高考总复习•数学（理科）二项分布【例2】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率．(2)假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？(3)设甲连续射击3次，用ξ表示甲击中目标时射击的次数，求ξ的数学期望E(ξ)(结果可以用分数表示)．2334高考总复习•数学（理科）解析：(1)记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)＝1－P(A－1)＝1－233＝1927.(2)记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A2，由于各事件相互独立，故P(A2)＝14×34×14×14＋34×34×14×14＝364.(3)(法一)根据题意ξ服从二项分布，E(ξ)＝3×23＝2.高考总复习•数学（理科）(法二)P(ξ＝0)＝C03×133＝127，P(ξ＝1)＝C13×23×132＝627，P(ξ＝2)＝C23×232×131＝1227，P(ξ＝3)＝C33×233×130＝827.ξ0123P1276271227827高考总复习•数学（理科）E(ξ)＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×827＝2.点评：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：(1)是否为n次独立重复试验．(2)随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．高考总复习•数学（理科）变式探究2．某校举行环保知识大赛，比赛分初赛和决赛两部分．初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题连续两次答错的概率为.(已知甲回答每个问题的正确率相同，并且相互之间没有影响．)(1)求选手甲回答一个问题的正确率；(2)求选手甲可进入决赛的概率；(3)设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列．19高考总复习•数学（理科）解析：(1)设选手甲回答一个问题的正确率为P1，则(1－P1)2＝19.故选手甲回答一个问题的正确率P1＝23.(2)选手甲答了3道题进入决赛的概率为233＝827.选手甲答了4道题进入决赛的概率为C23×233×13＝827，选手甲答了5道题进入决赛的概率为C24×233132＝1681，故选手甲可以进入决赛的概率P＝827＋827＋1681＝6481.高考总复习•数学（理科）(3)ξ可取3,4,5，则有P(ξ＝3)＝233＋133＝13，P(ξ＝4)＝C23×232×13×23＋C23×132×23×13＝1027，P(ξ＝5)＝C24×232×132×23＋C24132×232×13＝827，因此ξ的分布列为：ξ345P131027827高考总复习•数学（理科）正态分布【例3】佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命ξ(单位：月)服从正态分布N(μ，σ2)，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2.(1)求这种灯管的平均使用寿命μ；(2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)，求至少两支灯管需要更换的概率．高考总复习•数学（理科）解析：(1)∵ξ～N(μ，σ2)，P(ξ≥12)＝0.8，P(ξ≥24)＝0.2，∴P(ξ＜12)＝0.2，显然P(ξ＜12)＝P(ξ≥24)，由正态分布密度函数的对称性可知，μ＝＝18，即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月．12＋242(2)每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1－0.8＝0.2，假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支，则η～B(4，0.2)．故至少两支灯管需要更换的概率为：P＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－C040.84－C140.83×0.21＝113625(写成≈0.18也可以)．高考总复习•数学（理科）点评：解答这类正态分布问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率值以及正态分布曲线的对称性，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间属于上述三个区间中的哪一个．高考总复习•数学（理科）变式探究3．某中学高考数学成绩近似地服从正态分布N(100,100)，则该校数学成绩在120分以上的考生占总人数的百分比为________．解析：设ξ表示学生高考数学成绩，根据题意知要求P(ξ120)的值．因为ξ～N(100,100)，所以P(ξ120)＝1－P(ξ≤120)＝1－φ＝1－φ(2)＝1－0.9772＝0.0228，故数学成绩在120分以上的考生占总人数的2.28%.答案：2.28%120－10010