2015届高考数学一轮复习讲义：6[1].1_数列的概念与简单表示法

主页一轮复习讲义数列的概念与简单表示法主页1．数列的定义按照排列的一列数称为数列，数列中的每个数叫做这个数列的.2．数列的分类分类原则类型满足条件有穷数列项数有限按项数分类无穷数列项数无限递增数列an＋1an递减数列an＋1an按项与项间的大小关系分类常数列an＋1＝an其中n∈N*有界数列存在正数M，使|an|≤M按其他标准分类摆动数列an的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…要点梳理忆一忆知识要点一定次序项主页3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是、和．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知Sn，则an＝n＝1n≥2.忆一忆知识要点列表法图象法解析法序号nS1Sn-Sn-1要点梳理主页例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…；(4)32，1，710，917，…；(5)0,1,0,1，….由数列的前几项归纳数列的通项公式先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．主页解(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴an＝891－110n.(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴an＝(－1)n·2n－32n.主页(4)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，因此可得它的一个通项公式为an＝2n＋1n2＋1.(5)an＝0n为奇数1n为偶数或an＝1＋－1n2或an＝1＋cosnπ2.主页(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．探究提高主页写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3333，….变式训练1解(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝2n－12n.主页(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·2＋－1nn.也可写为an＝－1nn为正奇数3nn为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝13(10n－1)．主页例2根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)；(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.已知数列的递推公式求通项公式(1)可用构造等比数列法求解．(2)可转化后利用累乘法求解．(3)可利用累加法求解．主页解(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.(2)∵an＝n－1nan－1(n≥2)，∴an－1＝n－2n－1an－2，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.主页(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n3n＋12(n≥2)．当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝32n2＋n2.已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解．探究提高主页根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)在数列{an}中，an＋1＝3a2n，a1＝3；(2)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an2an＋1；变式训练2解(1)由已知an0，在递推关系式两边取对数．有lgan＋1＝2lgan＋lg3，令bn＝lgan，则bn＋1＝2bn＋lg3，∴bn＋1＋lg3＝2(bn＋lg3)，∴{bn＋lg3}是等比数列，∴bn＋lg3＝2n－1·2lg3＝2nlg3，∴bn＝2nlg3－lg3＝(2n－1)lg3＝lgan，.132nna主页(2)将an＋1＝an2an＋1取倒数得：1an＋1＝2＋1an，∴1an＋1－1an＝2，又1a1＝1，∴1an是以1为首项，公差为2的等差数列．∴1an＝1＋2(n－1)，∴an＝12n－1.主页例3已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通项公式．由an与Sn的关系求通项an当n＝1时，由a1＝S1，求a1；当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1消去Sn，得an＋1与an的关系．转化成由递推关系求通项．解由a1＝S1＝16(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S11，因此a1＝2.主页又由an＋1＝Sn＋1－Sn＝16(an＋1＋1)(an＋1＋2)－16(an＋1)(an＋2)，得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.因为an0，故an＋1＝－an不成立，舍去．因此an＋1－an－3＝0.即an＋1－an＝3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项为an＝3n－1.(1)已知{an}的前n项和Sn，求an时应注意以下三点：①应重视分类讨论的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论；特别注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.探究提高主页②由Sn－Sn－1＝an推得的an，当n＝1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”．③由Sn－Sn－1＝an推得的an，当n＝1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.(2)利用Sn与an的关系求通项是一个重要内容，应注意Sn与an间关系的灵活运用．探究提高主页已知数列{an}．(1)若an＝n2－5n＋4①数列中有多少项是负数？②n为何值时，an有最小值？并求出最小值．(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1an成立．求实数k的取值范围．思想与方法用函数的思想方法解决数列问题主页规范解答解(1)①由n2－5n＋40，解得1n4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.(1)求使an0的n值；从二次函数看an的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性．审题视角主页②∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94的对称轴方程为n＝52.又n∈N*，∴n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.(2)由an＋1an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－k232，即得k－3.主页【例1主页当n8时,1;nnaa当n=8时,98;aa当n8时,1.nnaa主页21,a31231.22aaa≥11(2).nnnaaann【例2】主页11(2).≥nnannan132122nnnnnaaaaaaaa1341,1232nnnn≥(2).2nnan又111,2a1,1,,2.2≥nnann(2)2011当时，na4022.n主页3(1),nnann3(1).nan116na②当时，也适合上式.2n≥①当时,3(1).nan3(1)n【1】两式相减得主页nan1(3)1nnannan≥132122nnnnnaaaaaaaa13421232nnnn(N).nann.n111na当时，也适合上式.【2】主页2009_______.则a4017540175.22009120095a【3】22(1)155nnnnnTaT215.n当n≥2时，主页1221100{}12已知数列的满足,,，则nnnnaaaaaaa-1【4】12341,2,1,1,aaaa6T100166441.aaa5672,1,1aaa.主页【5】已知数列{an}满足a1=2,则a1·a2·a3·····a2009的值为______.11,1nnnaaa44nnaaT12345112,3,22,;3aaaaa1232009aaaa2009a502411aa2