2015届高考数学状元之路二轮复习专题知识突破课件2.1.3.1三角函数

第一部分高考专题串串讲第二版块考前抢分策略专题一备战技法指导第三讲解答题六大题型解答策略第1课时三角函数主要题型：①纯三角函数知识综合；②三角函数与平面向量交汇；③三角函数与解斜三角形的交汇；④纯解斜三角形；⑤解斜三角形与平面向量的交汇．主要策略：①观察三角函数中函数名称、角与结构上的差异，确定三角化简的方向；②利用数量积公式、垂直与平行的充要条件转化向量关系为三角问题来解决；③利用正余弦定理进行三角形边与角的互化.命题研究类型一三角函数的恒等变换及图象与性质【例1】(2014·广东七校联考)设函数f(x)＝sinωx＋sinωx－π2，x∈R.(1)若ω＝12，求f(x)的最大值及相应的x的取值集合；(2)若x＝π8是f(x)的一个零点，且0ω10，求ω的值和f(x)的最小正周期．解题案例[标准解答](1)f(x)＝sinωx＋sinωx－π2＝sinωx－cosωx.(2分)当ω＝12时，f(x)＝sinx2－cosx2＝2sinx2－π4，而－1≤sinx2－π4≤1，∴f(x)的最大值为2，(4分)此时x2－π4＝π2＋2kπ，k∈Z，即x＝3π2＋4kπ，k∈Z，相应的x的集合为{x|x＝3π2＋4kπ，k∈Z}．(6分)(2)依题意fπ8＝2sinωπ8－π4＝0，即ωπ8－π4＝kπ，k∈Z，(8分)整理，得ω＝8k＋2，(9分)又0ω10，∴08k＋210，－14k1，(10分)而k∈Z，∴k＝0，ω＝2，∴f(x)＝2sin2x－π4，∴f(x)的最小正周期为π.(12分)对点训练1.(2014·北京西城区二模)已知函数f(x)＝3cosωx，g(x)＝sinωx－π3(ω0)，且g(x)的最小正周期为π.(1)若f(α)＝62，α∈[－π，π]，求α的值；(2)求函数y＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．解(1)∵g(x)＝sinωx－π3(ω0)的最小正周期为π，∴2πω＝π，解得ω＝2.由f(α)＝62，得3cos2α＝62，即cos2α＝22，∴2α＝2kπ±π4，k∈Z.∵α∈[－π，π]，∴α∈－7π8，－π8，π8，7π8.(2)函数y＝f(x)＋g(x)＝3cos2x＋sin2x－π3＝3cos2x＋sin2xcosπ3－cos2xsinπ3＝12sin2x＋32cos2x＝sin2x＋π3，由2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k∈Z.∴函数y＝f(x)＋g(x)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z).类型二解三角形【例2】(2014·忻州联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，并且23sin2A＋B2＝sinC＋3＋1.(1)求角C的大小；(2)若a＝23，c＝2，求b.[标准解答](1)∵23sin2A＋B2－(sinC＋3＋1)＝0，∴23cos2C2－(sinC＋3＋1)＝0，(2分)即23·1＋cosC2－(sinC＋3＋1)＝0，(3分)即3cosC－sinC＝1，cosC＋π6＝12.(5分)∵C为△ABC的内角，∴0Cπ，∴π6C＋π67π6.(7分)从而C＋π6＝π3，∴C＝π6.(8分)(2)∵a＝23，c＝2，∴由余弦定理得b2＋232－2×b×23cosπ6＝2，(10分)即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.(12分)对点训练2.(2014·南京一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．解(1)由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4，∵△ABC的面积等于3，∴12absinC＝3，得ab＝4.联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4解得a＝2，b＝2.(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.当cosA＝0时，A＝π2，B＝π6，a＝433，b＝233；当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组a2＋b2－ab＝4，b＝2a解得a＝233，b＝433，∴△ABC的面积S＝12absinC＝233.类型三三角函数与平面向量的交汇【例3】(2014·贵阳二模)已知向量a＝(sinx，－1)，b＝3cosx，－12，函数f(x)＝(a＋b)·a－2.(1)求函数f(x)的最小正周期T；(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a＝23，c＝4，且f(A)＝1，求△ABC的面积S.[标准解答](1)f(x)＝(a＋b)·a－2＝|a|2＋a·b－2＝sin2x＋1＋3sinxcosx＋12－2＝1－cos2x2＋32sin2x－12＝32sin2x－12cos2x＝sin2x－π6.(4分)∵ω＝2，∴T＝2π2＝π.(6分)(2)f(A)＝sin2A－π6＝1.∵A∈0，π2，2A－π6∈－π6，5π6∴2A－π6＝π2，A＝π3.(9分)又a2＝b2＋c2－2bccosA，∴12＝b2＋16－2×4b×12.即b2－4b＋4＝0，则b＝2.从而S＝12bcsinA＝12×2×4×sinπ3＝23.(12分)对点训练3.(2013·江西七校联考)已知在△ABC中，C＝2A，cosA＝34，且2BA→·CB→＝－27.(1)求cosB的值；(2)求AC的长度．解(1)∵C＝2A，∴cosC＝cos2A＝2cos2A－1＝18，∴sinC＝378，sinA＝74，∴cosB＝－cos(A＋C)＝916.(2)∵ABsinC＝BCsinA，∴AB＝32BC.∵2BA→·CB→＝－27，cosB＝916，∴|BA→||CB→|＝24，∴BC＝4，AB＝6，∴AC＝BC2＋AB2－2BC·AB·cosB＝16＋36－2×4×6×916＝5.