4.2.1 直线与圆的位置关系

一、复习提问1、点和圆的位置关系有几种？（1）dr点在圆内（2）d=r点在圆上（3）dr点在圆外结合图形，如何由数量关系判定直线与圆的位置关系？当时，直线与圆的位置关系是相离当时，直线与圆的位置关系是相切当时，直线与圆的位置关系是相交drd=rdrrdolrdlodrlo设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r：2、直线和圆的位置关系有几种？(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：直线与圆的位置关系的判定方法22BACBbAaddrd=rdr直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交(2).利用直线与圆的公共点的个数进行判断：nrbyaxCByAx的解的个数为设方程组222)()(0直线与圆相离n=0△0直线与圆相切n=1△=0直线与圆相交n=2△0直线l：Ax+By+C=0，圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)判断下列直线与圆的位置关系;).(0113122yxyx与直线圆;,).(06340828222yxyxyx直线圆.,)().(05212322yxyx直线圆相交相切相离题型一:判断直线与圆的位置关系..的关系圆和的值讨论直线试就例404122yxmyxm解法一:,),,(200422ryx半径的圆心为圆,21404mdmyx的距离为则圆心到直线直线与圆相交；时，或当,rdmm33直线与圆相切；时，当,3rdm直线与圆相离。时，当,rdm33题型一:判断直线与圆的位置关系..的关系圆和的值讨论直线试就例404122yxmyxm解法二:40422yxmyx由方程组,)(0128122myymx得消去).()()(3161488222mmm;,,此时直线与圆相交时或当033mm;,,此时直线与圆相切时当03m.,,此时直线与圆相离时当033mC练习1直线y=x+b与圆x2+y2=2相交时，b的取值范围如何？分析:直线与圆相交,则可以根据圆心到直线的距离小于半径列出方程,也可以根据直线与圆的交点有两个交点联立直线方程和圆的方程.解:圆心坐标为C(0,0),半径为2则圆心到直线的距离为2bd因为直线与圆相交，所以rd即22b解得:22b还有有别的方法解答这个问题吗？C2、直线x-y-m=0与圆x2+y2=4相切时，m的取值范围如何？分析:直线与圆相切,则圆心到直线的距离与圆的半径相等,即d=r。参考答案:22m练习.||,,::.ABBAyyxCyxl求弦长两点相交于和圆已知直线例032012222,),,(,)(:2104122ryx半径其中圆心为圆方程可化为解,||,5251102ddl则的距离为设圆心到直线.||5585442222drAB弦长1xyOABCD题型二弦长问题线段长为所截得的被圆直线11023122yxyx)(.1.A2.B3.C2.D.,54,0214:),3,3(.222的方程求截得的弦长为相交且和圆经过点直线lyyxCMl03092yxyx2或（）C题型三:直线和圆的相切问题.,x:CA(-2,4)3.2求此切线的方程的切线引圆由点例22y解：).(24xkyAk的切线方程为，则过点设切线的斜率为042kykx即21422kkd||圆心到切线的距离17或k)()(24274xyxy或所以此切线方程为.010702yxyx或即.),(的切线方程的圆求过点92322yxP),(32xky解：设所求切线方程为,||,),00312332kkdr而圆心到切线的距离为半径，又圆心为（,||13232kk即.125k03912531252yxxy即所以方程为)(.:为圆的切线可验证3x.0391253yxx或故所求的切线方程为的方程为相切，则圆与圆轴的正半轴上，直线，圆心在的半径为已知圆CyxxCC2044303222xyx.A）（0422xyxB).(03222xyxC).(0422xyxD).(圆的切线方程。的求过点已知圆),(,)()(:.51421122PyxO(D)1055125xyx或2.总结：判定直线与圆的位置关系的方法有____种：（1）根据定义，由________________的个数来判断；（2）根据性质，由_______________________________的关系来判断。在实际应用中，常采用第二种方法判定。两直线与圆的公共点圆心到直线的距离d与半径r作业1.P132习题4.2A组5、62.直线与平面垂直的判定定理。例1求实数m，使直线x-my+3=0和圆x2+y2-6x+5=0（1）相交；（2）相切；（3）相离。4)3(22yx162md05622xyx直线x-my+3=0比较d与r相交相切相离drd=rdr2222,2162mmm或得22,2162mm得2222,2162mm得r=2圆心（3，0）例2:已知圆C:X2+y2=1和过点P(-1,2)的直线L.(1)试判断点P的位置.(2)若直线L与圆C相切,求直线L的方程.(3)若直线L与圆相交于A、B两点,求直线L的斜率范围.(5)若直线L与圆相交于A、B两点,且满足OA⊥OB,求直线L的方程.(4)当直线L的斜率为-1时,试判断它们的位置关系.例3:一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，在y=x上截得弦长为，求此圆的方程。解：设该圆的方程是(x-3b)2+(y-b)2=9b2，圆心(3b,b)到直线x-y=0的距离是||22|3|bbbd1)7(222bdr故所求圆的方程是(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9。r=|3b|72•1.如果直线ax+by=4与圆x2+y2=4有两个不同的交点，则点P（a,b）与圆的位置关系是（）•A.P在圆外B.P在圆上•C.P在圆内D.不能确定•由已知，圆心（0,0）到直线ax+by=4的距离得a2+b24，所以点P（a,b）在圆x2+y2=4外，选A.A2242dab，•2.若过原点的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）•A.［］B.（）•C.［］D.（）•设直线方程为y=kx即y-kx=0.由题意得解得选C.C3,333,333,333,332211kdk，3333k，一、相交题型一：弦长问题为过且倾斜角为的弦，0P43)1(时，求的长；AB分析：（1）已知倾斜角即知什么？1k已知直线上一点及斜率，怎样求直线方程？点斜式)1(2xy01yx即已知直线和圆的方程，如何求弦长？解，即半径，弦心距，半弦长构成的RtRt222drAB2200,22BACByAxdr其中2230XyABP01、已知内有一点8:22yxoABP),2,1(0⊙性质？的中点，弦中点有什么即为弦分析：ABp0)2(弦中点与圆的连线与弦垂直ABOP0即20OPk21ABk052)1(212:yxxylAB即题型小结：（1）求圆的弦长：Rt解（2）圆的弦中点：垂直一、相交题型一：弦长问题题型二：弦中点问题（2）当弦被点平分时，求的方程。AB0PAB为过且倾斜角为的弦，0P一、相交（题型二：弦中点问题）XyBAP0O1、已知内有一点8:22yxoABP),2,1(0⊙二、相切题型一：求切线方程已知切线上的一个点点在圆上点在圆外已知切线的斜率的方程）的切线，（求过点已知lAyxC13,4)2(:.122分析：点是怎样的位置关系？CA与点在圆上，即A为圆的切点法一：lCA33CAk3lk切线方程为：023)3(31yxxy即法二：圆心到切线的距离等于半径设斜率为k)3(1:xkyl21132kk3kxyAC二、相切（题型一：求切线方程）变：想一想：法一还能用吗？为什么？不能，A点在圆外，不是切点，设切线的斜率为kl)2(5:xkyl圆心到切线的距离等于半径21322kk125k得：050125:yxl即：请你来找茬分析：从形的角度看：两条那为什么会漏解呢？没有讨论斜率不存在的情况错解：正解：斜率不存在时，直线为12x是圆的一条切线斜率存在时，同上2题型小结：过一个点求圆的切线方程，应先判断点与圆的位置，若点在圆上，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条，设切线方程时注意分斜率存在和不存在讨论，避免漏解。的方程）的切线，（求过点已知lAyxC52,4)2(:22过圆外一点作圆的切线有几条？xyAC题型二：求切线长求切线段长。）作圆的切线，，（求过点已知30,9)2(:.122AyxC分析：已知的圆外点，圆心，切点构成Rt用勾股定理求切线段长。题型小结：在圆中常求两种线段长：（1）相交时的弦长；（2）相切时的切线段长，都应该结合几何图形，用勾股定理求。二、相切xyACP二、相切（题型二：求切线长）