6.蒙特卡罗方法在通量计算中的应用

第六章蒙特卡罗方法在通量计算中的应用1.通量的定义2.通量的能谱和角分布3.计算体通量的模拟方法4.计算面通量的模拟方法5.计算点通量的模拟方法6.与通量有关的物理量的计算作业第六章蒙特卡罗方法在通量计算中的应用通量计算在粒子输运问题中占有非常重要的地位。很多问题，如碰撞率、反应率以及系统逃脱几率等都可以通过通量来计算。通量计算问题，包括点通量、面通量和体通量的计算问题。相对来说，点通量的计算要困难一些。1.通量的定义设分别表示粒子的位置、能量和运动方向。则通量的定义为：),,(ΩrE),,(ΩrEΩΩrdVdEdE),,(在r点的体积元dV内，能量E和运动方向Ω属于dEdΩ的粒子平均径迹长度。1)点通量的定义给定点r0的点通量为：点通量的含义为：ΩΩrrdEdE),,()(00dV)(0r在r0点的体积元dV内，粒子的平均径迹长度。2)面通量的定义给定曲面A0上的面通量为：面通量的含义为：00),,()()(0AAdAdEdEdAAΩΩrrdsA)(0沿曲面A0的法线方向增加厚度ds所组成的体积元的体积元A0ds中，粒子的平均径迹长度。3)体通量的定义给定体V0内的体通量为：体通量的含义为：)(0V在体V0内，粒子的平均径迹长度。00),,()()(0VVdVdEdEdVVΩΩrr4)粒子各次散射对通量的贡献通量可用粒子各次散射对通量的贡献和表示：其中为粒子n次散射后对通量的贡献，其含义为：0),,(),,(nnEEΩrΩr),,(ΩrE),,(ΩrEnΩΩrdVdEdEn),,(粒子在第n次散射到第n＋1次散射之间，在r点的体积元dV内，能量E和运动方向Ω属于dEdΩ的粒子平均径迹长度。2.通量的能谱与角分布用蒙特卡罗方法计算通量的能谱与角分布，所采用的手段与计算其它物理量一样，即把能量和方向分成若干个区间，分别按粒子状态所处的区间累积记录各自的贡献。现将能量分成I区：ΔE1，ΔE2，…，ΔEI；方向分成J区：ΔΩ1，ΔΩ2，…，ΔΩI。则有：ijjijjiiEEEEdEdEddEEdEdEΩΩΩΩΩΩrrΩΩrrΩΩrr),,()(),,()(),,()(jijiEjjiiEEEEEdEEEEEdEiijiΩΩΩrΩrΩΩΩrΩrrΩΩrΩΩ，当当当)(),,()(),,()(),,(3.计算体通量的模拟方法在实际问题中，经常遇到要计算某一区域V0的体通量。在通量的定义部分已经介绍过，通量可以表示为粒子各次散射对通量的贡献和。因此，下面要介绍的各种估计方法，只叙述各次散射后的通量计算方法。计算体通量的方法主要有以下几种。1)解析(统计)估计方法粒子n次散射（n＝0时为源粒子）后的通量贡献为：其中，s1和s2分别为粒子由点rn出发，沿Ωn方向到达区域V0的近端和远端的交点的距离。如果点rn在V0内，则s1＝0。如果粒子沿Ωn方向与V0有多段相交，则为每段相交线段的通量贡献之和。如果粒子沿Ωn方向与V0不相交，则。2100*),(exp)(sssnnntnndsdlElWVΩr0)(0*Vn)(0*Vn解析估计方法就是把体通量的贡献表达式直接计算出来。当系统为均匀介质时，如果只是V0为均匀介质，则如果V0由多层介质组成，则需分段计算积分。在解析估计方法中，粒子每发生一次碰撞（包括零次散射），都要记录通量的贡献值。tssnntteeWV21)(0*)(1),(exp)(0))((00*1201VedlElWVtssVsnnntnntΩr2)径迹长度方法设粒子从第n次散射到第n＋1次散射之间走过的径迹长度为s，则n次散射的通量贡献为：径迹长度方法就是把粒子在V0内走过的径迹长度记录下来。没有交点或与012112120*0)()()(VsssssssWssssWVnnn下面证明，径迹长度估计是无偏的。2121222120001201201012000*0010*00*),(exp),(exp),(exp)(),(exp)(),(exp)(),(exp)(),(exp)(),(exp),()()()(sssnnntnsssnnntnsmmmtnsmmmtnsssmmmtnssmmmtnsmmmtnsmmmtnntnndsdlElWdsdlElWdlElssWdlElssWdlEldssWdlEldssWdlEldVdsdlElEVdssfVΩrΩrΩrΩrΩrΩrΩrΩrr3)碰撞密度方法设粒子从第n次散射到第n＋1次散射之间走过的径迹长度为s，则n次散射的通量贡献为：碰撞密度方法就是把粒子在V0内发生的碰撞记录下来。其它0),()(2110*sssEWVnntnnr下面证明，碰撞密度估计是无偏的。212100110010*00*),(exp),(exp),(),(),(exp),()()()(sssnnntnsssmmmtnntnntnsmmmtnntnndsdlElWdsdlElEEWdsdlElEVdssfVΩrΩrrrΩrr4)均匀径迹长度方法确定一个定义在[s1,s2]上的概率密度函数fn(s)，从fn(s)中抽样s*，则n次散射通量贡献的估计为：fn(s)的最简单形式是均匀分布这时)(),(exp)(*00**sfdlElWVnsnnntnnΩr*0120*),(exp)()(snnntnndlElssWVΩr2112*1)(ssssssfn5)点通量代替方法设为在V0上定义的任一概率密度函数，则体通量可表示为：体通量的估计为：其中，r*为从中抽取的一个样本值。)()()(**0*0rrVfV0000)()()()()(0VVVVdVffdVVrrrr)(0rVf)(0rVf6)几种方法的比较(1)解析估计方法：直接计算体通量的贡献表达式，因此该方法的方差小，但计算时间长，需要计算指数函数的积分。(2)径迹长度方法：记录贡献方法简单，可与输运过程同时进行，只要粒子穿过记录区域就有贡献。但该方法方差大些，对于较小的系统（如自由程个数小于2），该方法较好。(3)碰撞密度方法：由于只在记录区域内发生碰撞才有贡献，因此方差较大，尤其在记录区域较小时更是如此。但该方法省时间，适用于大的记录区域。(4)均匀径迹长度方法：在记录区域为多层介质时，较解析估计方法容易实现。但在记录贡献时仍需计算指数函数，也费时间。(5)点通量代替方法：可以较好地解决小区域的体通量计算问题。尤其是记录区域与粒子的输运区域分开时，更是如此。4.计算面通量的模拟方法计算面通量的方法主要有以下几种。1)解析估计方法设经过n次散射的粒子，由点rn出发，沿Ωn方向到达曲面域A0的距离为s1，与曲面相交处曲面的法线方向为n，则n次散射粒子对该曲面的通量贡献为：如果粒子沿Ωn方向与A0有多个交点，则为每个交点处的通量贡献之和。如果粒子沿Ωn方向与A0没有交点，则。解析估计方法就是把面通量的贡献表达式直接计算出来。粒子每发生一次碰撞（包括零次散射），都要记录通量的贡献值。100*),(exp||)(snnntnnndlElWAΩrΩn0)(0*An)(0*An2)加权（径迹长度）方法设粒子从第n次散射到第n＋1次散射之间走过的径迹长度为s，则n次散射的通量贡献为：加权方法只有在粒子穿过曲面A0时，才对该曲面有通量贡献。其它0|cos|||)(10*ssWWAnnnnnΩn3)点通量代替方法设为在A0上定义的任一概率密度函数，则面通量可表示为：面通量的估计为：其中，r*为从中抽取的一个样本值。)()()(**0*0rrAfA0000)()()()()(0AAAAdAffdAArrrr)(0rAf)(0rAf4)体通量代替方法沿曲面A0的法线方向均匀地增加一个厚度Δs，由此构成的体积为。的体通量为：A0的面通量为：因此，如取得足够小，有如下近似：)(1lim)(000*AsVsA00)()(AVAdVVr0AV0AV)(1)(00*AVsA5.计算点通量的模拟方法与体通量、面通量的计算相比，点通量的计算最困难。这是因为，在大量的模拟粒子中，只能有很少的粒子穿过该点所包含的一个小区域，因此无法使用通常的通量计算方法。1)指向概率方法设n次散射后粒子的状态为，进入n次碰撞的粒子的状态为，表示粒子的碰撞核，其定义为：),,,(nnnnWEΩr),,,(111nnnnWEΩr),(11nnnnnEECrΩΩ),(rΩΩEEC一个粒子在点r发生碰撞后，能量由E'变为E的dE内，方向由Ω'变为Ω的dΩ内的粒子平均数。则n次散射的粒子对点r*的通量贡献为：其中当n＝0时，用源分布密度函数代替碰撞核。nnnntnnnnnnnndEdlElEECWn||0*2**111***),(exp||1),()(rrΩrrrrΩΩr||***nnnrrrrΩ),(11nnnnnEECrΩΩ),,(000ΩrES(1)光子问题的指向概率方法光子问题的碰撞核为：其中光子能量E以电子静止能量mec2≈0.511MeV为单位；K(E'→E/r)为Klein－Nishina公式，由下式确定N(r)表示在r处单位立方体内的原子数，z(r)表示在r处元素的原子序数，r0表示电子的经典半径。ΩΩrrrΩΩEEEEEKEECt111π21),()(),(EEEEEEEEEEEEErzNEEK12111121)()(π)(2220当rrr其中*1111*1nnnnnnEEEEΩΩ||0**2*2*1*11***),(exp||π2),()()(ndlElEEEEKWnnntnnnntnnnnnrrΩrrrrrr(2)中子问题的指向概率方法中子问题的碰撞核为：其中下标A和i分别表示不同的原子核和不同的反应；和分别表示能量为E'的中子与第A种原子核发生第i种反应后产生的平均次级中子数和微观截面；NA(r)表示在r处第A种原子核的核密度；表示能量为E'和方向为Ω'的中子与第A种原子核发生第i种反应后的能量E和方向Ω的分布。iAiAtiAAiAEEfEENEEEC,,,,),(),()()()(),(ΩΩrrrΩΩ)()(,,EEiAiA),(,ΩΩEEfiA则有中子的通量贡献为：2*||0**11,,11,1,1**||),(exp),(),()()()()(*nnntnnniAiAnntniAnAniAnndEdlElEEfEENEWnrrΩrΩΩrrrrr2)关于估计量无界问题当r*点附近不含散射物质时（如真空），也就是说，粒子的输运区域与记录点分开时，指向概率方法的估计量是有界的，因此是一种比较好的计算点通量的方法。不含散射物质的区域越大，指向概率方法的优点越明显。然而，当r*点附近含有散射物质时，由于在指向概率方法的估计量中含有无界因子因此，指向概率方法的估计量一般来说是无