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13.4课题学习最短路径问题如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？两点之间，线段最短FEDCBA①②③(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小.P连接AB，线段AB与直线L的交点P，就是所求.思考？？？为什么这样做就能得到最短距离呢？根据：两点之间线段最短.引言：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．引入新知问题1牧马人从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl将这个问题抽象为数学问题将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．探索新知B··Al（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；探索新知你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？探索新知你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）．BAlC如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？探索新知如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？探索新知如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探索新知如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C探索新知你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．探索新知你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′探索新知你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′证明：在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′CC′证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？探索新知回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′CC′问题2如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）ABMNE作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M，则点M为建桥的位置，MN为所建的桥.证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM，MN=CD，BD∥CE，BD=CE，所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN，若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE，则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN，在△ACE中，∵AC+CE＞AE，∴AC+CE+MN＞AE+MN，即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短.ABMNECD