中考冲刺数学专题12-方案设计问题(含答案)

中考冲刺数学专题12——方案设计问题【备考点睛】方案设计问题是指解决问题的方案决策问题。同一个问题往往有多种不同的解决方案，但其中最科学、合理的方案常常仅有一种。随着课程改革的全面展开和逐步深化,有利于考察学生创新意识和实践能力的方案设计问题已经成为中考命题的一大热点.方案设计问题大多取材于生活背景，富有浓厚的生活气息，能够让学生充分体验数学知识的应用价值，有利于激发学生学习数学的乐趣和学好数学的动力，因此，这类问题必然在中考中盛久不衰，它的出现改变了学生以往只依赖于模仿和记忆的“重结果,轻过程”的学习方式,有利于培养学生重视动手操作和实践活动,更为重要的是能够让学生养成用数学的意识。【经典例题】类型一利用不等式进行设计例题1（2010福建德化）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：(注:获利=售价-进价)（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件?（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案?并直接写出其中获利最大的购货方案.解答：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件.根据题意，得1605101100.xyxy解得：10060.xy答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件.（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进(160-a)件.根据题意，得甲乙进价(元/件)1535售价(元/件)20451535(160)4300510(160)1260.aaaa解不等式组，得65＜a＜68.∵a为非负整数，∴a取66，67.∴160-a相应取94，93.答：有两种构货方案，方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件；方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件.其中获利最大的是方案一.例题2整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题：（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？解答：（1）设甲种药品的出厂价格为每盒x元，乙种药品的出厂价格为每盒y元．则根据题意列方程组得：8.3362.256.6yxyx解之得：36.3yx5×3.6-2.2=18-2.2=15.8（元）6×3=18（元）答：降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是15.8元和18元（2）设购进甲药品x箱（x为非负整数），购进乙药品（100-x）箱，则根据题意列不等式组得：40100900)100(10%10510%158xxx解之得：607157x则x可取：58，59，60，此时100-x的值分别是：42，41，40有3种方案供选择：第一种方案，甲药品购买58箱，乙药品购买42箱；第二种方案，甲药品购买59箱，乙药品购买41箱；第三种方案，甲药品购买60箱，乙药品购买40箱；类型二利用二次函数进行设计例题3（2010河北）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=1001x＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润=销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳1001x2元的附加费，设月利润为w外（元）（利润=销售额－成本－附加费）．（1）当x=1000时，y=元/件，w内=元；（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线2(0)yaxbxca的顶点坐标是24(,)24bacbaa．解答：（1）14057500；（2）w内=x（y-20）-62500=1001x2＋130x62500，w外=1001x2＋（150a）x．（3）当x=)1001(2130=6500时，w内最大；分由题意得2214()(62500)1300(150)100114()4()100100a，解得a1=30，a2=270（不合题意，舍去）．所以a=30．（4）当x=5000时，w内=337500，w外=5000500000a．若w内＜w外，则a＜32.5；若w内=w外，则a=32.5；若w内＞w外，则a＞32.5．所以，当10≤a＜32.5时，选择在国外销售；当a=32.5时，在国外和国内销售都一样；例题4（2010湖北恩施）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？解答：（1）由题意得y与x之间的函数关系式为y＝xx620005.010=2000094032xx（1≤x≤110，且x为整数）（2）由题意得：2000094032xx-10×2000-340x=22500解方程得：1x=502x=150（不合题意，舍去）李经理想获得利润2250元需将这批香菇存放50天后出售。（2）设最大利润为W，由题意得W=2000094032xx-10×2000-340x23(100)30000x当100时，30000W最大100天＜110天存放100天后出售这批香菇可获得最大利润30000元．类型三利用几何知识进行设计例题5．（2010湖北恩施自治州）(1)计算:如图①,直径为a的三等圆⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，切点分别为A、B、C，求O1A的长（用含a的代数式表示）.（2）探索:若干个直径为a的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度nh和（用含n、a的代数式表示）.（3）应用:现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米.用这样的集装箱装运长为5米，底面直径（横截面的外圆直径）为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（3≈1.73）解答：(1)∵⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，∴O1O2=O2O3=O1O3=a又∵O2A=O3A∴O1A⊥O2O3∴O1A=2241aa=a23（2）nh=na=aan123，方案二装运钢管最多。即：按图10③的方式排放钢管，放置根数最多.根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，设钢管的放置层数为n,可得1.31.01.0123n解得68.35n∵n为正整数∴n=35钢管放置的最多根数为：31×18+30×17=1068（根）类型四利用一次函数进行设计例题6．（2010辽宁丹东市）某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）．（1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式；（2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．解答：（1）设按优惠方法①购买需用1y元，按优惠方法②购买需用2y元,6054205)4(1xxy725.49.0)4205(2xxy．（2）设12yy，即725.4605xx，∴24x．当24x整数时，选择优惠方法②．设12yy，∴当24x时，选择优惠方法①，②均可．∴当424x≤整数时，选择优惠方法①．（3）因为需要购买4个书包和12支水性笔，而2412，购买方案一：用优惠方法①购买，需12060125605x元；购买方案二：采用两种购买方式，用优惠方法①购买4个书包，需要204=80元，同时获赠4支水性笔；用优惠方法②购买8支水性笔，需要8590%36元．共需80+36=116元．显然116120．∴最佳购买方案是：用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔．例题7．（2010黑龙江绥化）为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品.若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元.（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B种纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？（3）若若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？解答：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元则105100053550abkb∴解方程组得50100ab∴购进一件A种纪念品需要50元，购进一件B种纪念品需要100元（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个∴501001000068xyyxy解得20≤y≤25∵y为正整数∴共有6种进货方案（3）设总利润为W元W＝20x＋30y＝20(200－2y)＋30y＝－10y＋4000(20≤y≤25)∵－10＜0∴W随y的增大而减小∴当y＝20时，W有最大值W最大＝－10×20＋4000＝3800(元)∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获最大利润，最大利润是3800元类型之五利用概率大小进行设计例题8．在学习“轴对称现象”内容时，王老师让同学们寻找身边的轴对称图形，小明有一副三角尺和一个量角器（如图所示）．（1）小明的这三件文具中，可以看做是轴对称图形的是（填字母代号）；（2）请用这三个图形中的两个．．拼成一个轴对称图案，在答题卡的指定位置画出草图（只须画出一种）；（3）小红也有同样的一副三角尺和一个量角器．若他们分别从自己这三件文具中随机取出一件，则可以拼成一个轴对称图案的概率是多少？（请画树状图或列表计算）解答：（1）根据轴对称图形的定义可知，图形B，C是轴对称图形；（2）因为B，C是