搜索
1()()22221211222121211221121212112211112cos3sin0cos3sin40.2cos2cos2sinxxyaaaxxaaaaxaaaaaxayx−−+−=∆=−=−++=⎧+−⎪==−⎪⎨−−⎪==−−⎪⎩=−xxxyyyy，指出下列方程的类型并化为标准形式。1）uuuu解：方程的判别式所以方程为双曲型。dydx该方程的一组特征微分方程为dydx积分得到特征曲线为1112222211122222111222sin2sin2sin2sin2sin082xccyxxyxxccyxxyxxyxxUUUBaaaxxxyyxyyaaxxyξηξηξηξηξηξηξηξξ+=−+⎧⎧⇒⎨⎨=−−+=++⎩⎩−+⎧⎨=++⎩∂∂∂++=∂∂∂∂⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂∂=+++=−⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠∂∂=+∂∂∂1211121=于是令此时原方程可以转化为2AA其中，AA()()2221222211122212222sin2sin00abyxyyBaaabyxxxyyyUUUuuuξξηηηηξηξηξηξηξηξηξη∂∂++=−−∂∂∂∂∂∂=+++=−−∂∂∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂⎛⎞∂∂∂++=⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠1所以16y+sinxy+sinx+由于y+sinx=，所以上式可以变为关于，得标准方程2+322()22222121122121122211122200.,().02xyyaaaxyxyayaxyycxcxxuuuBaaxxyξηηξηηηη++=∆=−=−=====∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂⎛⎞=++⎜⎟∂∂∂⎝⎠2xxxyyy221122）xuuu解：方程的判别式所以方程为抛物型。dy该方程的一组特征微分方程为解这个微分方程得到：dx其中为常数，因此令=，选此时原方程可以转化为2AA其中，A22222221112222222211122222222222002000ayyaaaxxyyBaaaxxyyuuyyηξξξηηηηη⎛⎞∂=⎜⎟∂⎝⎠∂∂∂=++=∂∂∂∂∂∂∂=++=∂∂∂∂∂∂=≠=∂∂11A最后得到，当时，3()22121122212121122112121211221111111122222103053*3160.3133311333aaaaaaaaaaaaayxccyxyxccyxyxξ++=∆=−=−=⎧+−⎪==⎪⎨−−⎪==⎪⎩=+=−⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨=+=−⎪⎪⎩⎩−xxxyyy3）3uuu解：方程的判别式所以方程为双曲型。dydx该方程的一组特征微分方程为dydx积分得到特征曲线为=于是令21112222221112221222221112221221303232020yxUUUBaaaxxxyyxyyaaabxxyyyBaaabxxyyyηξηξηξηξηξηξηξξξξηηηη⎧⎪⎨=−⎪⎩∂∂∂++=∂∂∂∂⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂∂=+++=−⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠∂∂∂∂=+++=∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++=∂∂∂∂∂12111211此时原方程可以转化为2AA其中，AA所以20Uξη∂=∂∂4()()()()()()()()()()()()()()()()0002112''1121211211122,0cos,0cos,0cos1222cos122xxttxxxxxxauxuxxuxefxatfxatfxfxxuxafxafxefxfxedcxcfxedaaxfxedaξξξ−−−−−⎧=−∞∞⎪⎨==⎪⎩=++−=+==−=−=+⎡⎤⎣⎦=++=−∫∫tt确定初值问题u，解：根据题意，令ux,t由初始条件得ux,0，对上式积分得，a于是得到，()()()()()()()()()()0011121212cos1222cos122211coscos22coscosxatxxxatxatxatcaxatcfxatedaaxatcfxatedaafxatfxatxatxatedatxateξξξ+−−−+−−⎧⎪⎪⎨⎪−⎪⎩⎧++=++⎪⎪⇒⎨−⎪−=+−⎪⎩⇒=++−=++−+⎡⎤⎣⎦=+∫∫∫∫ux,t5()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0'2'12'''1212'12'13,.,0,0,0122xxttxxaauxuxuxafxatfxatfxfxuxafxafxafxfxadcfxϕϕϕϕϕϕϕξϕϕ−⎧=−∞∞⎪⎨==−⎪⎩=++−=+==−=−−=−+⎡⎤⎣⎦=−∫tt求解无界弦的自由振动，设弦的初始位移为x初始速度为x解：初值问题为ux，x根据题意，令ux,t由初始条件得ux,0x，x对上式积分得，axxx于是得到，()()()()()()()()()()()()()()()()()0000'2'1'212'21222122212221122xxxxxatxxxatxatxatcdacfxdaxatcfxatdaxatcfxatdafxatfxatxatxatdxatξϕϕξϕϕξϕϕξϕϕϕξξϕ+−+−⎧+⎪⎪⎨⎪=+−⎪⎩⎧++=−+⎪⎪⇒⎨−⎪−=+−⎪⎩⇒=++−=++−−⎡⎤⎣⎦=−∫∫∫∫∫xxxxux,t6()()()()()()()()()()()()()2222304,0,00,,00,,0,,1,,.21,6ttxatxattaxatxtuxuxhahxthxuxxahxtatdaatxxtauxtaatxxtdatτττττττξξτττττ+−−−⎧=++−∞∞⎪⎨==⎪⎩⎧=−∞∞⎪⎨==+⎪⎩=+=−+−++⎡⎤=−+−++=+⎣⎦∫∫ttxxttxx求定解问题uu解：根据齐次化原理，可将问题转化为求解问题由达朗贝尔公式得到2.2xt()()()()()()()()()()()()()()2005,0,0,,0sin11,221,,:2111,sin222txatxatxattxatxattxataxatxtuxxuxxuxtxatxatdadfdauxtxatxatddaaaττϕϕφξξτξτξξξτξτ+−+−−−+−⎧=++−∞∞⎪⎨==⎪⎩=++−+⎡⎤⎣⎦+=++−+++⎡⎤⎣⎦∫∫∫∫∫ttxx求定解问题uu解：利用公式该非齐次方程的初值问题可以写成如下的的形式()()3211sinsin62xatxatdxxxatattaττξ+−−−=+++∫7()()()()()()()()()()()2222222222260,0,000,uuaxttxuxxuuauutxtatxuuaxtxfxatfxxfxatxatxatϕϕϕϕ∂∂⎧+=−∞∞⎪∂∂⎨⎪=⎩⎧∂∂+=⎪∂∂⎪∂∂∂⇒=⎨∂∂∂∂⎪+=⎪∂∂∂⎩=−=−=−=−求右行单波方程初值问题解：方程两边分别对x,y求导得到：由于为右行波，故可以令：ux,t根据初值条件得到，，于是得到所以ux,t()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()00007,0,,,0,,000000000,0,yxyxufxyxyuyyuxxuxyhxgydfdhgyyhghxgxhxgxhxgyxyhgxyuxyxydfdϕφξξηηϕϕφφφϕφϕϕφϕϕξξηη⎛∂=⎜∂∂⎜⎜==⎝=+++=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+=⎪⎪⎩⎩⇒+=+−+=+−⎡⎤⎣⎦=+−+∫∫∫∫2求定解问题解：方程两边同时对x,y进行积分得代入初始条件得所以，8()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1212211212211128,0,,,0220202002,02xtuxxxuxxxfxtfxtffxxfxxffxfxfxxfxtfxtfuxtfxtfxtfxtfϕφϕϕφφϕφ=−∞∞⎧⎪⎨−==⎪⎩=++−+==−⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==−⎪⎪⎩⎩⎧−⎛⎞−=−⎜⎟⎪⎪⎝⎠⇒⇒=++⎨+⎛⎞⎪+=−⎜⎟⎪⎝⎠⎩ttxx求解弦振动的古尔沙问题uu解：根据题意，可令ux,t代入初始条件得()()()()2210002222xtxtxtxtxtffϕφϕφϕ−−+−+⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+−+=+−⎡⎤⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎣⎦⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠9()()()()()()()()()()()()()()()()()()()20000209,0,0]0,0,0010,0,0,00,0,0,00ttxxxxtattxttxxtxuauxtuhxtxuxuxhxahdatdahdaututuauxtutahdtuxuxµττϕφξξττττ=⎧=∞⎪∂⎪=≤∞⎨∂⎪⎪==⎩=−++=−⎧=∞⎪=−≤∞⎨==∫∫∫∫求定解问题其中为已知连续可微函数。解：通过变换t将的问题转化成的问题。于是转化成求解定解问题()()()()()()()()()()()()()00000,,,,00,tzaxtazaxtauxtfxatffatahdfzahdxuxtfxatahdtazahdahduxtττττττττττ−−−−⎪⎪⎪⎩≥=−−=−≤=−⎛⎞=−=−≥⎜⎟⎝⎠−=−=∫∫∫∫∫该问题是半无界弦的振动问题，在x0部分,弦振动按右行波传播，故可设解为其中为任意可微函数，，代入边界条件得到，，若令z=-atz0,得到:于是得到当时定义，于是所求问题的解为00xtaxta⎧⎛⎞⎪≥⎜⎟⎪⎝⎠⎨⎪⎛⎞≤⎪⎜⎟⎝⎠⎩10()()()()()()()()()()()()()()()()222222232,,0,,0,,,00,,00,,0,,0,,,001,,23ttaxytuxyxxyuxyuxyxxyaxytuxyxxyuxyyuxytxatxatyxatxatyxxya⎧=+−∞∞⎪⎨=+=⎪⎩=+=⎧=−∞∞⎪⎨=+=⎪⎩⎡⎤=−−+++++⎣⎦=++ttxxyyyyttxx10求定解问题uuu解：由得，u。于是问题转化为uu令为参变量，利用达朗贝尔公式得2222xtayt+11()()()()(){}()()()()()()()()2222211,10,0,,],0,0,,0,,tuxuahatxhtFxatGxathxFGxtxtuxxuxxxhxuxtϕφφϕ⎡⎤∂∂∂⎛⎞⎛⎞=−⎢⎥⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦−++=−−∞∞==−∞∞=−证明方程x1-为常数h的通解可以表示成ux,t其中为任意的二阶可微函数，并由此求解其在区域内的初值问题其中，为已知的适当光滑函数。证明：做变换：vx,t于是得到：1-()()()()()()()22222222222222222222222222221,,,,,uvhxvthxthtvvhxvhxvhxuvvxxxxhxhxhhxahxhxvvhthxvvatxvxtFxt∂∂−∂⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟∂−∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂⎛⎞−+−+⎜⎟−∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂∂===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂−∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠−−∂∂∂∂∂∂⇒=∂∂=+xx1-hhxx1-1-hh于是得到：=故，()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2,,,,1,.2,,,0,0,,0'121.212ttxxtxatxatGxtFxtGxtvxthxhxvxtvavxtvxhxxvxhxxDAlemberthxatxathxatxathahxhϕφϕϕξφξ+−+==−−⎧=−∞∞⎪⎨=−=−⎪⎩=−−++−+−⎡⎤⎣⎦+−==−∫其F,G为二阶可微的函数。从而得到ux,t解关于函数的定解问题：根据公式可得：vx,tvx,t于是ux,t()()()()()()()()1.2xatxathxatxathxatxatxhahxϕϕξφξ+−−−++−+−⎡⎤⎣⎦−+−−∫12()()()()()()()()()