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第4讲共点力的平衡与受力分析自主·夯实基础自主预习轻松过关名师点金分析和求解力学问题往往需要先进行受力分析，本单元中虽然只涉及平衡状态下物体的受力分析，但掌握好了这些方法、技巧，就很容易将其推广到动力学和电磁学的受力分析中，所以说本讲内容对整个高中物理来说是非常重要的．因此，对其中的重要思想方法、解题技巧同学们一定要进行强化训练和分类比较，以达到深刻理解、灵活应用的目的．知识梳理一、共点力的平衡1．平衡状态2．平衡条件(1)物体所受合外力为零：F合＝0．(2)若采用正交分解法，则平衡条件表示为：Fx合＝0，Fy合＝0，(Fz合＝0)．静止：物体的速度和加速度都等于零的状态.匀速直线运动：物体的加速度为零、速度不为零且保持不变的状态.二、物体平衡的相关推论1．二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，则这两个力必定大小相等，方向相反，为一对平衡力．2．多力平衡：如果物体受多个力作用处于平衡状态，则其中任何一个力与其余力的合力大小相等，方向相反．3．三力汇交原理如果一个物体受到非平行的三个力作用而处于平衡状态，则这三个力的作用线必定在一个平面内，而且必为共点力．(证明：若这三个力不共点，则三力对物体的力矩不平衡)4．如果物体受到n个共面力的作用而处于平衡状态，则表示这n个力的n条有向线段可以依次首尾相接而构成一个封闭的“力的n边形”．特别是当n＝3时，将构成一个封闭的“力的三角形”．(注：可由三角形法则证明)三、物体的受力分析1．受力分析的方法先画出物体的受力示意图，再根据平衡条件(或牛顿运动定律)列出方程，求解各个未知力．在具体的受力分析中，隔离法和正交分解法是最常用到的方法．2．受力分析的步骤(1)明确研究对象在进行受力分析时，研究对象可以是某一物体，也可以是保持相对静止的若干个物体．在解决比较复杂的问题时，灵活地选取研究对象可以使问题简化．研究对象确定以后，只需要分析研究对象以外的物体施予研究对象的力(即研究对象所受的外力)，而不需要分析研究对象施予外界的力(这就是“隔离”的物理意义)．(2)按顺序分析重力、特定的已知力、电磁力、弹力、摩擦力．(先场力，后接触力)弹力和摩擦力属于被动力，它们的大小和方向与物体所受其他力的情况有关．凡有接触的地方都要考虑是否有弹力，凡有弹力的地方都要考虑是否有摩擦力．3．注意事项(1)在对某物体进行受力分析时，一定不能同时考虑一对作用力与反作用力．(2)合力与分力是等效代替的关系，不能考虑合力的同时又考虑其中的分力．基础自测1．(湖北省沙市三中2010届高三摸底考试)如图4－1所示，位于斜面上的物块的质量为M，在沿斜面向上的力F作用下处于静止状态，则斜面作用于物块的静摩擦力()A．方向可能沿斜面向上B．方向可能沿斜面向下C．大小可能等于零D．大小可能等于F图4－1【解析】除斜面可能作用于物块的静摩擦力f外，物块在沿斜面方向还受到重力的下滑分力Mgsinα和沿斜面方向向上的力F这两个力的作用．若F＝Mgsinα，则f＝0；若F＞Mgsinα，则f≠0且沿斜面向下；若F＜Mgsinα，则f≠0且沿斜面向上，此时有F＋f＝Mgsinα，当F＝Mgsinα时，f＝F＝Mgsinα．【答案】ABCD12122．(2008年上海物理卷)有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图4－2所示．现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力N和细绳上的拉力T的变化情况是()图4－2A．N不变，T变大B．N不变，T变小C．N变大，T变大D．N变大，T变小【解析】用整体法分析，支持力N＝2mg不变．再隔离Q环，设连接P、Q的细绳与OB的夹角为θ，则Tcosθ＝mg，θ角变小，cosθ变大，从上式看出T将变小．故本题正确选项为B．【答案】B3．如图4－3甲所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的．一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平面的夹角为α＝60°．两小球的质量比()图4－3甲A．B．C．D．21mm33233222【解析】将m1所受的绳的拉力F1和碗的支持力F2正交分解，如图4－3乙所示．图4－3乙在x轴上：F1cosα＝F2cosα在y轴上：F1cosα＋F2sinα＝m1g又F1＝mg，α＝60°联立解得：．【答案】A2133mm创新·方法探究提炼方法展示技巧题型方法一、两种三角架问题例1如图4－4甲所示，水平轻杆一端插入竖直墙内，另一端装有不计摩擦的轻质滑轮，一轻绳一端C固定于墙上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m的重物，绳BC与水平方向成θ角．求轻杆对滑轮的作用力．图4－4甲【解析】绕过滑轮的轻绳张力大小处处相等，图4－4乙取滑轮及与其接触的那段轻绳为研究对象，其受力情况如图4－4乙所示．由平衡条件知，轻杆对滑轮的弹力与两侧绳拉力的合力互为平衡力，故F＝2T·cos，方向为向上偏右角．【答案】略【点评】本题若取滑轮为研究对象，则应说明轻绳对滑轮的弹力大小和方向等于两侧绳拉力的合力．2424例2如图4－5甲所示，轻杆AB的一端固定在铰链上，在另一端B用轻绳悬挂一重为G的物体，再用绳BC拉住B端使轻杆处于水平状态．已知∠CBA＝θ，B点为两绳在轻杆上的共同结点，求轻杆对结点B的弹力．图4－5甲【解析】轻杆只受两端点力的作用时，两端点的力一定沿轻杆方向，取结点B为研究对象，其受力情况如图4－5乙所示．由平衡条件有：TC·cosθ＝TTC·sinθ＝TD＝G解得：轻杆对B的弹力大小T＝Gcotθ图4－5乙方向沿AB方向．【答案】Gcotθ方向沿AB方向【点评】在图4－5甲所示的悬挂法中，就算是同一根绳子在轻杆上打一个结以固定轻杆和重物，B点两侧BC段和BD段绳的张力也可以不同，或者说，在理论分析中BC段和BD段不能算同一根绳子．二、平行四边形定则(或三角形定则)在受力分析中的应用例3如图4－6甲所示，重为G的球放在倾角为α的光滑斜面上．试分析：挡板AO与斜面间的夹角β为多大时，它所受球的压力最小．图4－6甲【分析】虽然题目求的是挡板AO的受力情况，但若直接以挡板为研究对象，因其所受的力均未知，将无法得出结论．若以球为研究对象，则容易求解．【解析】以球为研究对象，受力如图4－6乙所示，其中F1、F2分别为挡板与斜面对球的支持力，由牛顿第三定律知,它们分别与球对挡板、斜面的压力大小相等、方向相反．图4－6乙由图中F1、F2、G′组成的平行四边形可知，当挡板与斜面的夹角β由小于90°逐渐变大时，F2的方向不变、大小逐渐变小，F1先变小再变大由几何关系知，β＝90°时F2有最小值mgsinα，即此时球对挡板的压力最小，F2′＝mgsinα．【答案】90°【点评】图解法具有简洁、明了、直观等特点，使用图解法的关键是正确利用平行四边形定则(或三角形定则)．方法概述1．三角形定则是简化了的平行四边形定则．(三角形为平行四边形的一半)2．应用这种方法分析受力时，关键要习惯于用几何长度、几何方向替代力的大小和方向来进行思考、分析．三、整体法与隔离法例4在粗糙的水平面上放着一个质量为M的三角形木块，在它的斜面上放着一质量为m的物体，如图4－7甲所示．已知斜面粗糙，m处于静止状态，求此时水平面对三角形木块的静摩擦力．图4－7甲【解析】方法一隔离法设斜面的倾斜角为θ，水平面对M的静摩擦力为f2，斜面与m之间的一对静摩擦力为f1、f1′，m、M的受力情况分别如图4－7乙、丙所示．对m，由平衡条件有：图4－7f1＝mgsinθ，FN1＝mgcosθ对于M，由平衡条件有：FN2＝Mg＋FN1′cosθ＋f1′sinθf2＋f1′cosθ＝FN1′·sinθ，又f1＝f1′，FN′＝FN1′解得：f2＝0，即水平面对M无静摩擦力作用．方法二整体法m、M相对静止，把它们当做一整体进行分析受力．如图4－7丁所示，由平衡条件知它们不受地面静摩擦力的作用．图4－7丁【答案】略【点评】①物体在斜块上只受重力和斜面的作用力处于以下运动状态时，相应的水平面对斜块的静摩擦力的规律如下：a．当物体静止或恰好匀速下滑时，斜块对水平地面无摩擦力作用；b．当物体在斜面上加速下滑时，斜块对地面的静摩擦力与物体运动的水平分量方向相反；c．当物体在斜面上减速下滑时，斜块对地面的静摩擦力方向与物体运动的水平分量方向相同．②本题还可以用整体法的反证法说明：若斜块对地有静摩擦力，则说明它们有水平运动的趋势；若地面光滑，它们将会整体向某一方向加速移动．那么，可以设计一种无动力汽车，这显然不可能．方法概述有些物理问题中要同时涉及几个相关联物体的受力：(1)若要求作物体之间内力的受力分析时，只能用隔离法．(2)若几个物体同时处于静止或相同速度的匀速运动，题中又不需求出它们的内力的情况下，这类问题往往既可以用整体法，也可以用隔离法．(3)有些问题中往往需要综合使用整体法与隔离法求解．(4)无论整体法还是隔离法，一般都需结合正交分解法列平衡方程求解．高考排雷受力分析在物理学中有重要的基础地位，所以有众多的方法技巧需要掌握，我们在具体使用这些方法技巧时，要特别注意以下几方面，防止走入误区．(1)可自由转动的轻杆，只有端点受力时，轻杆对端点的弹力只沿轻杆方向．除此以外的情况下，轻杆向各方向都有可能有弹力．(2)使用正交分解时，并不是一定要在特定的方向建立坐标轴，理论上可在任意方向取x轴建立直角坐标系．(3)在高中阶段只有同时处于平衡状态(或加速度相同)的物体才能一起运用整体法进行求解．例一斜块M静止于粗糙的水平面上，在其斜面上放一滑块m，若给m一向下的初速度v0，则m正好保持匀速下滑，如图4－8甲所示．现在m下滑的过程中再加上一个作用力，则以下说法正确的是()图4－8甲A．在m上加一竖直向下的力FA，则m将保持匀速运动，M对地仍无摩擦力的作用B．在m上加一沿斜面向下的力FB，则m将做加速运动，M对地有水平向左的静摩擦力C．在m上加一水平向右的力FC，则m将做减速运动，在m停止前M对地仍无摩擦力的作用D．无论在m上加上什么方向的力，在m停止前M对地都无静摩擦力的作用【错解】m匀速下滑的过程中，m、M都处于平衡状态，合外力为0，故此时M对地面无摩擦力作用，把所有力都沿水平、竖直方向正交分解．当FA作用时，只增加系统竖直向下的压力，故M对地面仍无摩擦力作用．选项A正确．FB对系统有水平向左的分力作用，故M对地面会产生水平向左的摩擦力，选项B正确．同理FC作用时，M对地面有水平向右的摩擦力．故应选A、B．【剖析】当有FA、FB、FC等力作用在m上时，m不再处于平衡状态，故不能再用整体法分析m、M受到的外力，应该用隔离法来进行受力分析．【正解】当m匀速下滑时，m、M的受力情况分别如图4－8乙、丙所示．由平衡条件知：f1＝mgsinθFN1＝mgcosθ又因为f1＝μFN1可得：μ＝tanθ图4－8乙图4－8丙当在m上加一竖直向下的压力时，m与M之间的弹力FN1′＝(mg＋F)cosθm与M之间的摩擦力f1′＝μ(mg＋F)cosθ故m沿x方向有：(F＋mg)sinθ－μ(mg＋F)cosθ＝0m保持匀速下滑，对于m对M的摩擦力和压力的水平分力同样有：f1′cosθ－FN1′sinθ＝0．即M对地面无摩擦力的作用．选项A正确．无论在m上施以何方向的作用力，在m停止之前都有f1＝μFN1，所以m对M的压力和摩擦力的水平分力之和为：Fx＝f1cosθ－FN1sinθ＝μFN1cosθ－FN1sinθ＝0即M无水平移动的趋势，M对地无静摩擦力作用．【答案】ACD【点评】①本解的结果可以作为结论记住．②要注意C、D选项中有个关键的前提——“在m停止之前”．体验成功1．如图4－9甲所示，两个质量都是m的小球A、B用轻杆连接后斜靠在墙上处于平衡