相似三角形知识点总结及配套习题

相似相似图形位似图形相似多边形相似三角形相似三角形的判定相似三角形的性质应用1.形状相同的图形2.相似多边形：①表象：大小不等，形状相同.②实质：各对应角相等、各对应边成比例.3.相似比：相似多边形对应边的比图形的相似通过定义平行于三角形一边的直线三边成比例两边成比例且夹角相等两角分别相等两直角三角形的斜边和一条直角边成比例（三个角分别相等，三条边成比例）相似三角形的判定对应角相等、对应边成比例对应高、中线、角平分线的比等于相似比周长比等于相似比面积比等于相似比的平方相似三角形的性质（1）测高测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）（不能直接测量的两点间的距离）测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.（2）测距相似三角形的应用位似1.如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.（这时的相似比也称为位似比）2.性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在一条直线上.DEFAOBCDEFAOBC3.位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.ABGCEDF●PB′A′C′D′E′F′G′A′B′C′D′E′F′G′ABGCEDF●P4.平面直角坐标系中的位似当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－k．1.△ABC的三边长分别为5、12、13，与它相似的△DEF的最小边长为15，求△DEF的其他两条边长．解：∵△ABC∽△DEF设△DEF另两边分别为x,y则，解得x=36，解得y=39∴△DEF的其他两条边长为36，39.2.根据下列图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x和y的值FGHJI3568yx12∠1=∠2解：∵∠1=∠2，∠HGF=∠JIH=90°，∴△FGH∽△JIH，则有解得x=4；解得y=10.3.如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，CD⊥AB，垂足为P，求证：PC2＝PA·PB.B·ACDOP证明：连接AC，BC∵AB是直径∴∠ACB＝90°又∵CD⊥AB∴∠CPB＝90°∠PCB＋∠B＝90°又∠A＝∠CPB∴△APC∽△CPB∴∠A+∠B=90°4.如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E.(1)求证：△ABD∽△CED；(2)若AB=6，AD=2CD，求BE的长.（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°．∵CE是外角平分线，∴∠ACE＝60°．∴∠BAC＝∠ACE．又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED．（2）作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6．∴AM＝CM＝3，∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4，MD＝1.在Rt△BDM中，.由（1）△ABD∽△CED得，226333BM2227BDBMMD27=2BDADEDCDED，即，737.EDBEBDED∵，∴M5.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？ABCDEFGHABCDEFGH解：设正方形EFHG为加工成的正方形零件，边GH在BC上，顶点E、F分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边EF相交于点M，设正方形的边长为xmm∵EF//BC∴△AEF∽△ABCAM＝AD－MD＝80－x解得x=48M即这个正方形零件的边长是48mm.6.如图，王芳同学跳起来把一个排球打在离地2m远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的距离是6m，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？ABOCD2m6m1.8m解：∵∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，∴CD=5.4m.答：球能碰到墙面离地5.4m高的地方．7.如图，△ABC在方格纸中(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(2,3),C(6,2),并求出B点坐标；(2)以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′;(3)计算△A′B′C′的面积S.【解析】(1)画出原点O，x轴、y轴如图.B（2，1）.(2)画出图形△A′B′C′.13S4816.2