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贵阳市名校2019年初升高自主招生入学数学测试卷(本试卷满分150分，考试时间120分钟)班级：________姓名：________得分：________第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(每小题4分，共40分)1.12020的相反数是(D)A．2020B．－2020C.12020D．－120202．随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为(B)A．0.21×107B．2.1×106C．21×105D．2.1×1073．下列算式运算结果正确的是(B)A．(2x5)2＝2x10B．(－3)－2＝19C．(a＋1)2＝a2＋1D．a－(a－b)＝－b4．某学习小组9名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如表：那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是(A)A．90，90B．90，85C．90，87.5D．85，855．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是（C）A．50°B．60°C．70°D．80°6．若|3x－2y－1|＋x＋y－2＝0，则x，y的值为（D）A.x＝1，y＝4B.x＝2，y＝0C.x＝0，y＝2D.x＝1，y＝17．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（D）8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝62，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于（A）A．2B．3C．32D．239．一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5的根的情况是（D）A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于310．小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（A）A．31元B．30元C．25元D．19元第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题(每小题4分，共24分)11．计算：(a＋1)(a－1)－(a－2)2＝4a－5.12．因式分解：(y＋2x)2－(x＋2y)2＝3(x＋y)(x－y)．13．一个袋中装有m个红球，10个黄球，n个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么m与n的关系是m＋n＝10.14．若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为4.15．如果a－b＝23，那么代数式a2＋b22a－b·aa－b的值为3.16．将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行，第4列的数是12，则位于第45行，第6列的数是2020.三、解答题(本大题共8小题，共86分)17．(8分)计算：（1－2）2－1－220＋tan45°－－13－2＋50.解：原式＝2－1－1＋1－9＋52＝62－10.18．(8分)若点P的坐标为x－13，2x－9，其中x满足不等式组5x－10≥2（x＋1），12x－1≤7－32x，求点P所在的象限．解：解不等式5x－10≥2(x＋1)，得x≥4，解不等式12x－1≤7－32x，得x≤4.∴不等式组的解集为x＝4.∴点P的坐标为(1，－1)，即点P在第四象限．19．(10分)如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；(2)当DE＝DF时，求EF的长．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO.又∵∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE(AAS)．∴DF＝BE.又∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形．(2)解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF.设AE＝x，则DE＝BE＝8－x，在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2＋AD2＝DE2，∴x2＋62＝(8－x)2.解得x＝74.∴DE＝8－74＝254.在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2＋AD2＝BD2，∴BD＝62＋82＝10.∴OD＝12BD＝5.在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2－OD2＝OE2，∴OE＝2542－52＝154.∴EF＝2OE＝152.20．(10分)（（2019潍坊中考）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）解：∵∠AEB＝90°，AB＝200，坡度为1：，∴tan∠ABE＝，∴∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝100，∵AC＝20，∴CE＝80，∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1：4，∴，即，解得，ED＝320，∴CD＝＝米，答：斜坡CD的长是米．21．(12分)(2019绵阳中考)胜利中学为丰富同学们的校园生活，举行“校园电视台主待人“选拔赛，现将36名参赛选手的成绩（单位：分）统计并绘制成频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：请根据统计图的信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中扇形D对应的圆心角度数；（2）成绩在D区域的选手，男生比女生多一人，从中随机抽取两人临时担任该校艺术节的主持人，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．【答案】解：（1）80～90的频数为36×50%=18，则80～85的频数为18-11=7，95～100的频数为36-（4+18+9）=5，补全图形如下：扇形统计图中扇形D对应的圆心角度数为360°×=50°；（2）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数为12，所以抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为=．22．(12分)某市为推进养老服务工作的深入开展，在扩大社区养老覆盖率、规范机构养老、科学规划养老服务布局等方面做了大量工作．该市的养老机构拥有的养老床位数从2018年底的2万个增长到2020年底的2.88万个；(1)求该市这两年养老床位数的年平均增长率；(2)该市2020年底筹建一社区养老中心，按照规划拟建造三类养老专用房间(一个养老床位的单人间、两个养老床位的双人间、三个养老床位的三人间)共100间，若按规划需要建造的单人间的房间数为m(12≤m≤15)，双人间的房间数是单人间的2倍，求该养老中心建成后最多可提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？解：(1)设该市这两年养老床位数的年平均增长率为x，由题意得2(1＋x)2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)，∴该市这两年养老床位数的年平均增长率为20%.(2)设建造的单人间的房间数为m(12≤m≤15)，则双人间的房间数是2m，三人间的房间数是(100－3m)，设养老中心建成后可提供养老床位y个，由题意得y＝m＋4m＋3(100－3m)＝－4m＋300，∵－40，∴y随m的增大而减小，∴当m＝12时，y的最大值是－4×12＋300＝252，当m＝15时，y的最小值是－4×15＋300＝240.∴该养老中心建成后最多可提供养老床位252个，最少提供养老床位240个．23．(12分)（2019遂宁中考）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．（1）求证：∠COD＝∠BAC；（2）求⊙O的半径OC；（3）求证：CF是⊙O的切线．【解答】解：（1）∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，∴∠GAF＝90°，∵AG∥BC，∴AE⊥BC，∴CE＝BE，∴∠BAC＝2∠EAC，∵∠COE＝2∠CAE，∴∠COD＝∠BAC；（2）∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝＝，∴设OE＝x，OC＝3x，∵BC＝6，∴CE＝3，∵CE⊥AD，∴OE2+CE2＝OC2，∴x2+32＝9x2，∴x＝（负值舍去），∴OC＝3x＝，∴⊙O的半径OC为；（3）∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC，∴，∵∠COE＝∠FOC，∴△COE∽△FOE，∴∠OCF＝∠DEC＝90°，∴CF是⊙O的切线．24．(2019临沂中考)（14分）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）y＝x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），则c＝2，则函数表达式为：y＝ax2+bx+2，将点A坐标代入上式并整理得：b＝2a+1；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x＝﹣≥0，而b＝2a+1，即：﹣≥0，解得：a，故：a的取值范围为：﹣≤a＜0；（3）当a＝﹣1时，二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，S△PAB＝×AB×PH＝2×PQ×＝1，则yP﹣yQ＝1，在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，故：|yP﹣yQ|＝1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点Q（x，x+2），即：﹣x2﹣x+2﹣x﹣2＝±1，解得：x＝﹣1或﹣1，故点P（﹣1，2）或（﹣1，1）或（﹣1﹣，﹣）．