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数学新课标（RJ）八年级上册11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角第2课时直角三角形新知梳理►知识点一直角三角形两个锐角的关系第2课时直角三角形直角三角形的两个锐角.互余►知识点二直角三角形的判定第2课时直角三角形有两个角的三角形是直角三角形.互余重难互动探究探究问题一直角三角形的两个锐角互余第2课时直角三角形例1如图11－2－19，图ⓐ是一个直角三角形，已知∠ACB＝90°，那么∠A的余角是哪个角呢？第2课时直角三角形小明用三角尺在这个三角形中画了一条高CD（点D是垂足），得到图ⓑ.（1）在图ⓑ中，小明通过仔细观察、认真思考，找出了四对互余的角，你能帮小明把它们写出来吗？（2）∠ACB，∠ADC，∠CDB都是直角，所以∠ACB＝∠ADC＝∠CDB，小明还发现了另外两对相等的角，请你也仔细地观察、认真地思考分析，试一试，能发现吗？把它们写出来，并说明理由.第2课时直角三角形［解析］（1）根据直角三角形的两个锐角互余，知∠A＋∠ACD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，∠A＋∠B＝90°.又由等量代换，知∠ACD＋∠BCD＝90°.（2）根据同角或等角的余角相等写出即可.解：∠A的余角是∠B.（1）①∠A与∠ACD，②∠ACD与∠BCD，③∠B与∠BCD，④∠A与∠B.（2）∠A＝∠BCD，∠B＝∠ACD.理由：∵∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，根据同角的余角相等，∴∠A＝∠BCD，∠B＝∠ACD.第2课时直角三角形解：因为∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，所以∠ACD＝∠BCD＝45°.又因为∠A＝30°，∠A＋∠ADC＋∠ACD＝180°，所以∠ADC＝180°－30°－45°＝105°，所以∠BDC＝180°－105°＝75°.第2课时直角三角形例2如图11－2－20，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAF的度数.解：因为∠B＝36°，∠C＝76°，AF⊥BC，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－36°－76°＝68°，∠CAF＝90°－∠C＝90°－76°＝14°.因为AD平分∠BAC，所以∠CAD＝12∠BAC＝34°，所以∠DAF＝∠CAD－∠CAF＝34°－14°＝20°.第2课时直角三角形［归纳总结］（1）直角三角形的两个锐角互余这一性质的前提是在直角三角形中；（2）注意结合“同角或等角的余角相等”找出更多角的关系，从而解决有关角度的问题；（3）由此例可以得出一个重要结论：从三角形一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另两个角的差的一半.第2课时直角三角形探究问题二直角三角形的判定例3已知：如图11－2－21，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：△PEF是直角三角形.［解析］根据直角三角形的判定，只需判定∠PEF＋∠PFE＝90°即可.第2课时直角三角形证明：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠EFD＝180°.又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，∴∠PEF＝12∠BEF，∠PFE＝12∠EFD，∴∠PEF＋∠PFE＝12（∠EFD＋∠BEF）＝90°，∴△PEF是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）.第2课时直角三角形例4一个三角形的各内角度数之比是3∶2∶5，请判断这个三角形的形状.［解析］已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，确定最大的内角的度数，从而判断三角形的形状.第2课时直角三角形解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为3k°，2k°，5k°，则3k°＋2k°＋5k°＝180°，解得k＝18.5k°＝18°×5＝90°.所以三角形最大的内角是90°，所以这个三角形是直角三角形.［归纳总结］判定一个三角形是直角三角形的方法：（1）根据定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）根据性质：有两个角互余的三角形是直角三角形.