高考文科数学数列专题讲解及高考真题精选(含答案)

无穷数列有穷数列按项数2221,21(1)2nnaanaanannnnnn常数列:递增数列:按单调性递减数列:摆动数列:数列1.数列的有关概念：（1）数列：按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在自然数N*或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的函数。（2）通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的通项公式。如:221nan。（3）递推公式：已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与他的前一项an-1（或前几项）可以用一个公式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。如:121,2,aa12(2)nnnaaan。2．数列的表示方法：（1）列举法：如1，3，5，7，9，…（2）图象法：用（n,an）孤立点表示。（3）解析法：用通项公式表示。（4）递推法：用递推公式表示。3．数列的分类：4．数列{an}及前n项和之间的关系:123nnSaaaa11,(1),(2)nnnSnaSSn5．等差数列与等比数列对比小结：等差数列等比数列一、定义1(2)nnaadn1(2)nnaqna二、公式1．11naand,nmaanmdnm2．12nnnaaS112nnnad1．11nnaaq,()nmnmaaqnm2．11111111nnnnaqSaqaaqqqq三、性质1．,,2abcbac成等差，称b为a与c的等差中项2．若mnpq（m、n、p、*q），则mnpqaaaa3．nS，2nnSS，32nnSS成等差数列1．2,,abcbac成等比，称b为a与c的等比中项2．若mnpq（m、n、p、*q），则mnpqaaaa3．nS，2nnSS，32nnSS成等比数列6.在等差数列｛na｝中,有关Sn的最值问题：(1)当1a0,d0时，满足001mmaa的项数m使得ms取最大值.(2)当1a0,d0时，满足001mmaa的项数m使得ms取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。7.数列求和的常用方法1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于1nnaac其中{na}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于nnba其中{na}是等差数列，nb是各项不为0的等比数列。4.倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.8.常用结论1)1+2+3+...+n=2)1(nn2）1+3+5+...+(2n-1)=2n3）2333)1(2121nnn4）)12)(1(613212222nnnn5）111)1(1nnnn)211(21)2(1nnnn6))()11(11qpqppqpq[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110nna；5，55，555，…11095nna.09-13高考真题（2009.9）设,Rx记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x]，则{215}，[215],215A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列【答案】B【解析】可分别求得515122，51[]12.则等比数列性质易得三者构成等比数列（2009.10）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.1378【答案】C【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项(1)2nnan，同理可得正方形数构成的数列通项2nbn，则由2nbn()nN可排除A、D，又由(1)2nnan知na必为奇数，故选C.（2009.19）（本小题满分12分）已知{na}是一个公差大于0的等差数列，且满足362755,16aaaa（Ⅰ）求数列{na}的通项公式：（Ⅱ）若数列{na}和数列{nb}满足等式：na＝)(2...222n33221为正整数nbbbbn，求数列{nb}的前n项和nS（Ⅰ）解法一：设等差数列na的公差为d，则依题设d0由2716aa，得12716ad①由3655,aa得11(2)(5)55adad②由①得12167ad将其代入②得(163)(163)220dd，即22569220d24,0,2,11(1)221ndddann1又代入得a①解法二：由等差数列的性质得：2736aaaa，∴36365516aaaa由韦达定理知，36,aa是方程216550xx的根，解方程得5x或11x设公差为d，则由633aad，得633aad∵0d，∴36131155,11,2,25413aadaad故21nan（Ⅱ）解法一：当1n时，112ba，∴12b当2n时，312n-1n231...22222nnnbbbbba＝312n-12311...2222nnbbbba＝两式相减得1n2nnnba-a＝，∴12nnb因此12,12,2nnnbn当1n时，122Sb；当2n时，122123(12)...22612nnnnbSbbbb∵当1n时上式也成立，∴当n为正整数时都有226nnS解法二：令121121,,2nnnnnnnbcacccaccc则有两式相减得11,nnnaac由（Ⅰ）得111,2nnaaa11112,2(2),2222nnnnccnnbba即当时，又当n=1时，12,(1)2(2)nnnbn于是3411232222nnnSbbbb=234122222n-4=1222(21)426,2621nnnnS即（2010.7）已知等比数列{ma}中，各项都是正数，且1a，321,22aa成等差数列，则91078aaaaCA.12B.12C.322D322（2011.9）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为A．1升B．6667升C．4447升D．3337升【详细解析】由题意1434a+d=321198659a+d6a+d=422，解得113a=22，d=766，所以易求a5=6766（2011.17）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列}{nb的3b、4b、5b．（Ⅰ）求数列}{nb的通项公式；（Ⅱ）数列}{nb的前n项和为nS，求证：数列}45{nS是等比数列．【详细解析】（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d．依题意，得a-d+a+a+d=15，解得a=5．所以{}nb中的345,,bbb依次为7,10,18dd．依题意，有(7)(18)100dd，解得2d或13d（舍去）．故{}nb的第3项为5，公比为2．由2312bb，即2152b，解得154b．所以{}nb是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为1352524nnnb．（Ⅱ）数列{}nb的前n项和25(12)5452124nnnS，即25524nnS．所以15542S，112552425524nnnnSS．因此数列5{}4nS是以52为首项，公比为2的等比数列．（2012.7）定义在,00,U上的函数fx,如果对于任意给定的等比数列,nnafa仍是等比数列,则称fx为“保等比数列函数”.现有定义,00,U在上的如下函数:①2fxx②2xfx③||fxx④ln||fxx则其中是“保等比数列函数”的fx的序号为(C)A.①②B③④C.①③D.②④（2012.17）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数,他们研究过如图所示的三角形数:...10631将三角形数1,3,6,10,记为数列na,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列nb,可以推测:(1)2012b是数列na中的第__5030__项;(2)21kb___5512kk___(用k表示)（2012.20）(本小题13分)已知等差数列na前三项的和为3,前三项的积为8.(1)求等差数列na的通项公式;(2)若231,,aaa成等比数列,求数列||na的前n项和.20．解：（Ⅰ）设等差数列{}na的公差为d，则21aad，312aad，由题意得1111333,()(2)8.adaadad解得12,3,ad或14,3.ad所以由等差数列通项公式可得23(1)35nann，或43(1)37nann.故35nan，或37nan.（Ⅱ）当35nan时，2a，3a，1a分别为1，4，2，不成等比数列；当37nan时，2a，3a，1a分别为1，2，4，成等比数列，满足条件.故37,1,2,|||37|37,3.nnnannn记数列{||}na的前n项和为nS.当1n时，11||4Sa；当2n时，212||||5Saa；当3n时，234||||||nnSSaaa5(337)(347)(37)n2(2)[2(37)]311510222nnnn.当2n时，满足此式.综上，24,1,31110,1.22nnSnnn（2013.19）（本小题满分13分）已知nS是等比数列{}na的前n项和，4S，2S，3S成等差数列，且23418aaa.（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得2013nS？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．19．（Ⅰ）设数列{}na的公比为q，则10a，0q.由题意得2432234,18,SSSSaaa即23211121,(1)18,aqaqaqaqqq解得13,2.aq故数列{}na的通项公式为13(2)nna.（Ⅱ）由（Ⅰ）有3[1(2)]1(2)1(2)nnnS.若存在n，使得2013nS，则1(2)2013n，即(2)2012.n当n为偶数时，(2)0n，上式不成立；当n为奇数时，(2)22012nn，即22012n，则11n.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{21,,5}nnkkkN.