高考数学直线平面垂直的判定及其性质课件

第四节直线、平面垂直的判定及其性质(全国卷5年12考)获取更多免费资料以及真题演练请关注公众号：安博志愿规划【知识梳理】1.直线与直线垂直(1)定义:若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点,并且交角为直角,则称这两条直线互相垂直.(2)若一条直线垂直于一个平面,则它就和平面内的任意一条直线垂直.2.直线与平面垂直(1)定义:直线l与平面α内的_____一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.任意(2)判定定理与性质定理:文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条____直线都垂直,则该直线与此平面垂直⇒l⊥α相交________________________a,b⊂αa∩b=Ol⊥al⊥b文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线_____⇒a∥b__________a⊥αb⊥α平行3.平面与平面垂直文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的_____,则这两个平面垂直⇒α⊥β垂线__________l⊥αl⊂β文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于_____的直线与另一个平面垂直⇒l⊥α交线α⊥βl⊂βα∩β=al⊥a【常用结论】1.若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.2.两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.3.三垂线定理在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.4.三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(在括号内打“×”或“√”)设直线m与平面α相交但不垂直,①在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直()②过直线m有且只有一个平面与平面α垂直()③与直线m垂直的直线不可能与平面α平行()④与直线m平行的平面不可能与平面α垂直()【解析】对于①,在平面α内显然有无数条直线与直线m垂直,因此①是错误的;对于③,与直线m垂直的直线是可以与平面α平行的,因此③不正确;对于④,与直线m平行的平面也有可能与平面α垂直,因此④也不正确.对于②,根据直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质知②正确.答案:①×②√③×④×2.已知直线m和平面α,β,则下列命题中正确的是()A.若α⊥β,m⊂β,则m⊥αB.若α∥β,m∥α,则m∥βC.若α∥β,m⊥α,则m⊥βD.若m∥α,m∥β,则α∥β【解析】选C.对于A,直线m与平面α可能平行,可能在α内,也可能是相交而不垂直,所以A错误;对于B,直线m可能在β内,所以B错误;对于C,因为一条直线垂直于平行平面中的一个,它也和另一个平面垂直,所以C正确;对于D,两个平面可能相交,所以D错误.3.设α,β是两个不同的平面,m是一条直线,给出下列命题:①若m⊥α,m⊂β,则α⊥β;②若m∥α,α⊥β,则m⊥β.则()A.①②都是假命题B.①是真命题,②是假命题C.①是假命题,②是真命题D.①②都是真命题【解析】选B.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,所以①正确;若m∥α,α⊥β,则m与β不一定垂直,所以②错误.题组二:走进教材1.(必修2P73练习T1改编)下列命题中不正确的是()A.如果平面α⊥平面β,且直线l∥平面α,则直线l⊥平面βB.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βC.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ【解析】选A.根据面面垂直的性质,知A不正确,直线l可能平行于平面β,也可能在平面β内或与平面β相交.2.(必修2P72探究改编)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n【解析】选C.由题意知,α∩β=l,所以l⊂β,因为n⊥β,所以n⊥l.3.(必修2P79T1改编)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,平面PCD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2,作如图2折叠.沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M,并且EF∥DC,MF⊥CF.(1)证明:CF⊥平面MDF.(2)求三棱锥M-CDE的体积.【解析】(1)因为PD⊥平面ABCD,PD⊂平面PCD,平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,MD⊂平面ABCD,MD⊥CD,所以MD⊥平面PCD,因为CF⊂平面PCD,所以MD⊥CF.因为CF⊥MF,MD,MF⊂平面MDF,MD∩MF=M,所以CF⊥平面MDF.(2)因为CF⊥平面MDF,所以CF⊥DF,又易知∠PCD=60°,所以∠CDF=30°,从而CF=CD=,因为EF∥DC,所以1212DECF,DPCP即所以DE=,所以PE=所以S△CDE=CD·DE=,MD=所以VM-CDE=S△CDE·MD=1DE2,233433,438122222MEDEPEDE223336 ()(),4421362.3821613考点一线面、面面垂直的判断真假问题【题组练透】1.已知直线l,m与平面α,β,γ,满足β∩γ=l,l∥α,m⊂α,m⊥γ,则必有()A.α⊥γ且m∥βB.α∥β且α⊥γC.m∥β且l⊥mD.α⊥γ且l⊥m【解析】选D.因为m⊂α,m⊥γ,所以α⊥γ.因为β∩γ=l,所以l⊂γ,又因为m⊥γ,所以l⊥m.2.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,其中,为真命题的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④【解析】选D.对于①当两条直线平行时,这两个平面可能不平行,所以①错;因为垂直于同一条直线的两条直线可能平行,也可能相交,还可能异面,所以③错;由两个平面垂直的判定定理知②正确,由两个平面垂直的性质定理知④正确.3.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由平面与平面垂直的判定定理知:若m为平面α内的一条直线,m⊥β,则α⊥β,反过来则不一定.所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.4.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是()A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直线BC∥平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45°【解析】选D.若PB⊥AD,因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AD,所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥AB,矛盾所以A错误,过点A作AM垂直于PB,垂足为M,连接CM,在直角三角形PAB中,设AB=1,则PA=2,PB=,AM=,BM=,又因为AC=,所以PC=,所以cos∠PBC=-,所以CM=,所以在三角形AMC中,cos∠AMC=-,所以AM与MC不垂直,所以52515371257577B错误,因为在棱锥的底面内,直线BC与直线AE相交,所以BC与平面PAE相交,所以C错误,在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,所以∠PDA=45°.所以直线PD与平面ABC所成的角为45°.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC【解析】选C.根据三垂线逆定理,平面内的直线垂直平面的一条斜线,那也垂直于斜线在平面内的射影,A.若A1E⊥DC1,那么D1E⊥DC1,很显然不成立;B.若A1E⊥BD,那么BD⊥AE,显然不成立;C.若A1E⊥BC1,那么BC1⊥B1C,成立,反过来BC1⊥B1C时,也能推出A1E⊥BC1,所以C成立,D.若A1E⊥AC,则AE⊥AC,显然不成立.【规律方法】与线面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准,甚至无需作图通过空间想象来判断.(2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确.(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.【拓展】反证法:反证法是立体几何中常用的间接证明方法.其步骤是:①否定结论;②进行推理;③导出矛盾;④肯定结论.用反证法证题要注意:①是否能用反证法;②命题结论的反面情况有几种.考点二直线、平面垂直的判定与性质【典例】1.如图,在四棱锥S-ABCD中,侧面SAD⊥底面ABCD,SA=SD,AD∥BC,AD=2BC=2CD,M,N分别为AD,SD的中点.(1)求证:SB∥平面CMN.(2)求证:BD⊥平面SCM.【证明】(1)设BD与CM交于点O,连接ON,BM.因为AD=2BC,且AD∥BC,M为AD的中点,所以MD=BC,且MD∥BC,所以四边形BCDM为平行四边形,所以点O为BD的中点,又因为点N为SD的中点,所以SB∥ON,又因为ON⊂平面CMN,SB⊄平面CMN,所以SB∥平面CMN.(2)因为SA=SD,且点M为AD的中点,所以SM⊥AD,又因为侧面SAD⊥底面ABCD,所以SM⊥底面ABCD,所以SM⊥BD,因为在平行四边形BCDM中,BC=CD,所以CM⊥BD.又因为CM与SM相交于点M,所以BD⊥平面SCM.2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F.(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.【证明】(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC∥A1C1,在三角形ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点.所以DE∥AC,于是DE∥A1C1,又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以AA1⊥A1C1,又因为A1C1⊥A1B1,A1B1∩AA1=A1,AA1⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1,因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D,又因为B1D⊥A1F,A1C1∩A1F=A1,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,所以B1D⊥平面A1C1F,因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.【误区警示】(1)证明线面垂直时,易忽视面内两条线为相交线这一条件.(2)面面垂直的判定定理中,直线在面内且垂直于另一平面易忽视.(3)面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.【规律方法】1.线面垂直的证明方法(1)线面垂直的定义.(2)线面垂直的判定定理.(3)面面垂直的性质定理.2.证面面垂直的思路(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面.这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑.(2)条件中告诉我们某种位置关系,就要联系到相应的性质定理,如已知两平面互相垂直,我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理.(3)在垂直关系的证明中,线线垂直是问题的核心,可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直,也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直.【对点训练】如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.(1)求证:PC⊥BC.(2)求点A到平面PBC的距离.【解析】(1)因为PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC.因为∠BCD=90°,所以CD⊥BC,又PD∩DC=D,PD,DC⊂平面PCD,所以BC⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD,故PC⊥BC.(2)分别取AB,PC的中点E,F,连接DE,DF,则易证DE∥CB,DE∥平面PBC,所