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实验7托里拆利实验液体在生活中无处不在，并且液体一般盛放在容器中，比如水。在近现代以前，一般用水桶来供水。这种供水方式，即便是到了现在，依然在使用。在用水桶供水时，为了使用的方便，会在水桶的下方开一个小孔，在小孔处安装阀门或者水龙头，使用时将水龙头打开即可。有时候，啤酒也装在类似的桶中。如果打开水龙头，桶中的液体多长时间会流干净？今天，我们一起通过下面的实验来研究一下。一、实验目的1、了解伯努利方程；2、了解托里拆利定理；3、研究液面高度随时间的变化。二、实验材料（建议）圆柱形塑料桶，小刀，水，米尺，笔芯之类。三、实验原理1.伯努利方程理想流体在细管中稳定流动，忽略流体的粘滞性。设流体密度为ρ，重力加速度为g，以管中一段位于A、B之间的流体为分析对象（如图1所示）。A处：流速为vA，压强为pA，沿着流速方向流体的截面积为SA，相对于某水平面的高度为hA。B处：流速为vB，压强为pB，沿着流速方向流体的截面积为SB，相对于某水平面的高度为hB。对于不可压缩的流体上式称为理想流体的连续性方程.此外，根据流体力学的知识，借助能量守恒和功能原理，可以得到如下的伯努利方程：图12.托里拆利定理如图2所示，圆柱形的液体桶内径为D。桶壁开有一个圆孔，孔内径为d。上述圆桶放置在某水平面S上，桶中盛满液体（如水），液体密度为ρ。图2某时刻t，桶内液体上表面对应的流速为v0，压强为pA，沿着流速方向液体的截面积为SA，相对于水平面S的高度为hA。同一时刻（即t时刻），小孔处流速为v，压强为pB，沿着流速方向液体的截面积为SB，相对于某水平面的高度为hB。由伯努利方程得：桶内液体上表面和小孔处的液体均和外界大气接触，压强相等（都等于大气压），所以pA=pB。此外，容器内液体上方的截面积SA远大于小孔处的截面积SB，据连续性方程(1)，vSB=v0SA，所以v≫v0。因此，忽略(3)式中的ρv02/2，同时令，得：由上式可得，小孔上方的液体上表面的高度h与小孔处液体流速之间的关系：以上即托里拆利定理。根据上述定理，小孔处液体的流速和物体从相对小孔高为h的位置自由下落到小孔处的速率相同。3.小孔上方液面高度和时间的关系对于图2中盛有液体的桶，设桶内截面的直径为D。t时刻从桶中流出液体量应等于通过小孔的流量。设小孔直径为d，则有：t时刻，小孔上方桶内液体上表面到小孔中心的距离为h，此时小孔上方桶内液体的体积为因此：联立三式，可得：变形可得：设t=0时刻，液面相对于小孔的高度为H，则有：积分可得：上述关系也可以改写为：上述关系给出了液面相对于小孔中心高度h和时间t之间的关系，其中。四、实验内容（含实验步骤、数据记录表、数据处理要求等）1.测量圆柱形桶和细管直径准备圆柱形的桶和圆柱形的细管(干净的笔芯或者用其他圆柱形的细管)。测量桶和细管的内直径(内圆柱面的直径)，分别填入表1和表2中(至少测量3次)。表1：容器（桶）内径表2：细管（小孔）内径注意：细管的内径要显著小于桶的内径。。2.桶壁开孔，设置液面计时标记在桶壁上开一个小孔，插入上面准备好的细管(细管的轴线尽量和桶的轴线垂直，或者说，注入液体后，细管的轴线尽量与液体上表面平行)。插入后，将细管外部与桶壁小孔边缘之间的缝隙用不透水的材料封好。在小孔上方桶壁上，设置六个用来表示液面高度的标记，分别记为M0、M1、M2、M3、M4和M5。测量标记Mi到到小孔中心的距离记为Hi，并填入表3中（至少测量3次）。次数相对高度123H0H1H2H3H4H5表3：液面标记Mk相对小孔中心的高度注意：Hi随着i的变大而变小（i=0,1,2,3,4,5）。3.测液体上方液面相对于小孔中心高度H所对应的时间将小孔封住。把桶放置在水平面上，在桶中注入水，液面高度高于最高的标记M1。待液面平静后，打开小孔，让水通过小孔流出。当液体上方液面相对于小孔中心的高度为H0时开始计时（t0=0），并记录液面高度分别为Hi时对应的时刻ti（i=1,2,3,4,5），并填入表4中（至少重复3次）。次数用时123t0t1t2t3t4t5表4：液体上表面相对于小孔中心高度随时间的变化4.研究液体上方液面相对于小孔中心高度H随时间的变化根据表3和表4求出和（i=0,1,2,3,4,5），绘制和的实验曲线，并根据最小二乘法求出实验曲线的斜率k。求出斜率k的理论值k0，计算k实验值相对于k理论值k0的相对误差。五、预习题1.假设圆柱形桶内直径为10cm，小孔内直径为2mm，桶内液体液面初始时刻相对于小孔中心的高度为20cm。通过底部的小孔，将小孔上方的液体排净，需要多长时间？2.如果是方形的桶（长方体状），打开小孔，液体上表面的高度和什么有关？能给出定量的表达式吗？六、思考题1.为什么装满水的塑料瓶下方开孔，孔越小，水喷的越远？2.为什么生活中，用来供水的水塔建的很高？烧热一把螺丝刀，用它在矿泉水瓶上扎个孔，趁热插进一截圆珠笔芯效果不错，一点都不漏水。实测数据Δht1t2t3H091.0000H180.54.655.2H270.011.512.012.2H359.518.619.018.8H449.026.126.827H538.535.536.136.3用测得的数据绘图，由图中直线可得斜率k