二元一次不等式组和平面区域

二元一次不等式（组）与平面区域二元一次不等式（组）请看下面的不等式x+y700,10x+12y0,x0,y0,二元一次不等式组含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式叫做二元一次不等式二元一次不等式表示平面区域二元一次不等式（组）的一般形式为Ax+By+C0或Ax+By+C0已知直线l:Ax+By+C=0，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做半开平面，半开平面与l的并集叫做闭半平面。以不等式解（x,y）为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式的区域或不等式的图象其解集的集合意义？二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不全为0）的图象是一条直线问题在平面直角坐标系中，直线x+y-1=0将平面分成几部分呢？?不等式x+y-1＞0对应平面内哪部分的点呢？答：分成三部分:（2）点在直线的右上方（3）点在直线的左下方0xy11x+y-1=0（1）点在直线上在直角坐标系xOy中，作直线l：x+y－1=0。由直线的方程的意义可知，直线l上点的坐标都满足l的方程，并且在直线l外的点的坐标都不满足l的方程。在直线l的上方和下方取一些点：上方：(0，2)，(1，3)，(0，5)，(2，2)；下方：(－1，0),(0，0),(0，－2),(1，－1)把它们的坐标分别代入式子x+y－1中，我们发现，在l上方的点的坐标使式子的值都大于0，在l下方的点的坐标使式子的值都小于0。54-212-1-1321x+y-1=0Oyx这使我们猜想：l同侧的点的坐标是否使式子x+y－1的值具有相同的符号？要么都大于零，要么都小于零。事实上，不仅对这个具体的例子有此性质，而且对坐标平面内的任意一条直线都有此性质.右上方点左下方点区域内的点x+y-1值的正负代入点的坐标（1,1）（2,0）（0,0）（2,1）（-1,1）（-1,0）（-1,1）（2,2）直线上的点的坐标满足x+y-1=0，那么直线两侧的点的坐标代入x+y-1中，也等于0吗?先完成下表，再观察有何规律呢？0xy11x+y-1=0同侧同号，异侧异号正负x+y-1＞0x+y-1＜0问题1：在平面直坐标系中，x+y=0表示的点的集合表示什么图形？x+y0呢?x-y+10呢？xyox+y=0xyox+y=0x+y0x+y0(x。,y。)(x0,y)在平面直角坐标系中,点的集合{（x，y）|x-y+1=0}表示什么图形？x0x，y=y0x0-y0+1x-y+1xyo1-1左上方x-y+10x-y+1=0(x，y）（x。，y。）右下方x-y+10问题：一般地，如何画不等式AX+BY+C0表示的平面区域？从特殊到一般情况：二元一次不等式Ax+By+C＞0(或0)在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域，（虚线表示区域不包括边界直线，实线包括边界直线）OxyAx+By+C=0二元一次不等式表示相应直线的某一侧区域结论一二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同，只需在直线的某一侧任取一点(x0,y0),根据Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C0表示直线的哪一侧区域，C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，常取（1，0）或（0,1）作为测试点结论二直线定界，特殊点定域。结论不等式x+y-1＞0表示直线x+y-1=0的右上方的平面区域•不等式x+y-1＜0表示直线x+y-1=0的左下方的平面区域•直线x+y-1=0叫做这两个区域的边界0xy11x+y-1=0例1：画出不等式x+4y4表示的平面区域x+4y―4=0xy解：画直线x+4y–4=0（画成虚线）所以，不等式x+4y–40表示的区域在直线x+4y–4=0的左侧如图所示。(------直线定界)取原点（0，0），代入x+4y-4，因为0+4×0–4=-40(-------特殊点定域)例1：画出不等式2x+y-60表示的平面区域。xyo362x+y-602x+y-6=0平面区域的确定常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。解:将直线2X+y-6=0画成虚线将(0,0)代入2X+y-6得0+0-6=-60原点所在一侧为2x+y-60表示平面区域方法总结：画二元一次不等式Ax+By+C0表示的平面区域的步骤：1、直线定界（注意边界的虚实）2、特殊点定域（代入特殊点验证）一般地，当C≠0时常把原点（0,0）作为特殊点当C=0时把（0，1）或（1,0）作为特殊点分别在坐标系画出下列不等式表示的平面区域(1)x-y+5≥0(2)x+y≥0(3)x30xyx-y+5=0-550xyx+y=00xyx=3课堂练习1练习1：画出下列不等式表示的平面区域：（1）２ｘ＋３ｙ－６＞０（2）４ｘ－３ｙ≤１２OXY32OYX3-4（1）（2）0xyx-2y=0y-3x+12x2y的解集。例2、用平面区域表示不等式组画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤：由于所求平面区域的点的坐标需同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组表示的区域是各个不等式表示的区域的交集，即公共部分。分析：Oxyx+y=0x=3x-y+5=0-55例2：画出不等式组表示的平面区域.3005xyxyx注：不等式组表示的平面区域是各不等式所表示平面区域的公共部分。例题分析(1)(2)242yyxxy9362323xyyxxyx4oxY-2OXY332练习2:1.画出下列不等式组表示的平面区域21、不等式x–2y+60表示的区域在直线x–2y+6=0的（）A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方2、不等式3x+2y–6≤0表示的平面区域是（）BD3.B02063yxyx表示的平面区域是（）不等式组02063yxyx二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。确定步骤：直线定界，特殊点定域；若C≠0，则直线定界，原点定域；小结：(1)Oxy11例3：根据所给图形，把图中的平面区域用不等式表示出来：(2)yxO25应该注意的几个问题：1、若不等式中不含0，则边界应画成虚线，2、画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。否则应画成实线。则用不等式可表示为:020420yyxyx解：此平面区域在x-y=0的右下方，x-y≥0它又在x+2y-4=0的左下方，x+2y-4≤0它还在y+2=0的上方，y+2≥0Yox4-2x-y=0y+2=0x+2y-4=022，求由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0所围成的平面区域所表示的不等式。综合应用解析：由于在异侧，则（1，2）和（1，1）代入3x-y+m所得数值异号，则有（3-2+m）（3-1+m）0所以（m+1）(m+2)0即：-2m-1试确定m的范围，使点（1，2）和（1，1）在3x-y+m=0的异侧。例4、变式:若在同侧，m的范围又是什么呢？解析：由于在同侧，则（1，2）和（1，1）代入3x-y+m所得数值同号，则有（3-2+m）（3-1+m）＞0所以（m+1）(m+2)＞0即：m-2或m＞-1综合应用若二元一次不等式组所表示的平面区域是一个三角形，求a的取值范围变式：x-y+5≥0y≥a0≤x≤22xoy5DCx-y+5=0x=2-5y=ay=ay=ay=5y=77答案:5≤a7如图,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)＞0的点(x,y)所在区域应为：()By12χO(C)y12χO(D)y12χO(A)y12χO(B)由y≤2及|x|≤y≤|x|+1围成的几何图形的面积是.3连接高考