三重积分的计算

3.3三重积分的计算你要认识：三元函数在空间有界闭区域上的积分(,,)fxyzdv要掌握三重积分的计算法：化为一个单积分和一个二重积分来计算其中是空间有界闭区域.计算方法是将三重积分化为三重积分()(,,)GfPdgfxyzdv一个单积分和一个二重积分构成的累次积分继续将二重积分化为二次积分，最终将三重积分化为三次积分先一后二或先二后一3.3.1投影法（先一后二）3.3.2截面法（先二后一）dv(,,)fxyzdxdydz用平行于坐标面的平面族：xyz常数，常数，常数去分割积分区域,除边界外每个小块都是一个长方体，于是得到体积元素xzyodxdydzdv(,,)fxyzdvdxdydz？3.3.1投影法（先一后二）体积元素12(,),(,)zzxyzzxy得,xyD把分为下上两个边界：以的边界为准线xyD(,)xyxyD1z2z1S2S1(,)zzxy2(,)zzxy1(,)zzxy从yzxO12:(,)(,),(,)xyzxyzzxyxyD于是将向xoy面投影，设如图,母线平行于z轴的柱面,,xyxyD2,,zxy变到投影法(,,)fxyzdv则12:(,)(,),(,)xyzxyzzxyxyD积分区域可表示为(先一后二）[]xyDdxdy(,)xyxyD1z2z1()yyx2()yyxab1S2S1(,)zzxy2(,)zzxyyzxO:xyD12()(),yxyyx.axb2211()(,)()(,)(,,)byxzxyayxzxydxdyfxyzdz21(,)(,)(,,)zxyzxyfxyzdz2211()(,)()(,)(,,)(,,)byxzxyayxzxyfxyzdvdxdyfxyzdz这是先对z，次对y，最后对x的三次积分21(,)(,)(,,)[(,,)]xyzxyzxyDfxyzdvfxyzdzdxdy(先一后二）若根据是X型域或Y型域，确定二重积分的积分限,就得到化为三次积分的公式.xyD若为X型域，则有xyD也可以用其他顺序做三次积分.,xy例1计算,其中为三个坐标面及平面x＋2y＋z＝1所围成的区域.xdvxyzO(0,0,1)C1(0,,0)2B(1,0,0)AxyD:012,(,)xyzxyxyD解在xoy面上的投影为xyD12zxy0z120[]xyxyDxdvxdzdxdy120[]xyxyDxzdxdy(12)xyDxxydxdy12301(2)4xxxdx120[]xyxyDxdvxdzdxdy11122000xxydxdyxdz11200(12)xxdxxydy1:0,012xyxDyx若看成X型域，则xyD(,)xyxyzO(0,0,1)C1(0,,0)2B(1,0,0)AxyD12xy0y148例2计算,zdv2224xyz(0)z223xyz所围成的区域.解将积分区域向xoy面投影，得22:3xyDxy和旋转抛物面其中是由上半球面xyDzxyO223xyz224zxy2222224,3:3xyxyzxyDxy：zdv2222211[4()]29xyDxyxydxdy4232001(4)29dd134(03,02)D：222243[]xyxyxyDzdzdxdy2222224,3:3xyxyzxyDxy：421(4)29Ddd22()Ixydv例3计算其中222,0,0xyzxy由锥面和xyDxyzaza22=zxy0zaa所围成第一卦限部分.解将积分区域向xoy面投影，得2222,:3xyxyzaDxy：222:,0,0xyDxyaxy5.40a22()Ixydv22222,:xyxyzaDxya：2222[()]xyaxyDxydzdxdy2222()()xyDxyaxydxdy(0,0)2Da：2200()adad2()Dadd前面介绍的三重积分的计算法是将三重积分化为由一个单积分和一个二重积分构成的累次积分，单积分就是定积分，而二重积分根据具体情况，或利用直角坐标计算，或利用极坐标来计算，实际上后者就是在柱面坐标下计算三重积分的方法.关于柱面坐标下计算三重积分的方法在这里不做介绍了，请参看教科书.计算三重积分时，先求一个二重积分，再求一个定积分的方法3.3.2截面法（先二后一）设区域的z值的最大值内任一点z,作平行于xoy的平面与交出截面zD，xyzOzDzc12c先在上对x,y积分，然后在上对z积分.12[,]cczD12:(,),zxyDczc12(,)cc过二重积分的积分区域.就是和最小值为和，12cc21(,,)[(,,)]zccDfxyzdvfxyzdxdydz先求出上的二重积分再求定积分.zD先二后一12:(,),zxyDczcz的最小值和最大值为例4计算，其中是由椭球面2222221xyzabc2zdxdydzczc222222:1,zxyzDabcczc-解用先二后一法：abcxyzOzDcz即所围成的空间闭区域.和，cc2zccDzdzdxdy的面积为zzDdxdyD22222211(1)zzzababccc2222(1)cczzdxdydzzabdzc42324()15cczabzdzabcc22zccDzdxdydzdzzdxdy222222:1,zxyzDabc例5求半径为a的球面与平面所围成的较大立体的体积(如图).2azaOxyz2a解球面的方程2222()xyzaa2aVdv22220,22axyzazza：22220xyzaz即32524a采用先二后一法计算Vdv222:2,zDxyazz22aza2aa2azzD22zaaDdzdxdy222(2)aaazzdzOxyz三重积分可以在球面坐标下计算，不过“先二后一法”基本上就可以处理了，在此我们不做详细讨论，有兴趣的同学可以参考教科书.小结21(,,)[(,,)]zccDfxyzdvfxyzdxdydz21(,)(,)(,,)[(,,)]xyzxyzxyDfxyzdvfxyzdzdxdy投影法（先一后二）三重积分的计算方法是将三重积分化为：一个单积分和一个二重积分构成的累次积分截面法（先二后一）可替代“球面坐标下的计算方法”可替代“柱面坐标下的计算方法”