1.1命题与量词

歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位批评家“狭路相逢”，这位文艺批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，一边高傲地往前走。一边大声说道：“我从来不给傻子让路！”面对如此尴尬的局面，歌德只是笑笑，一边谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道“呵呵，我可恰恰相反。”你能分析此故事中歌德与批评家的言行语句吗？批评家：（1）我不给傻子让路，（2）你歌德是傻子，（3）我不给你让路。歌德：（1）我给傻子让路，（2）你批评家是傻子，（3）我给你让路。常用逻辑用语“数学是思维的科学”逻辑是研究思维形式和规律的科学.逻辑用语是我们必不可少的工具.通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑用语的用法,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.命题的概念一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的语句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.1.1.1命题例1判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？(1)空集是任何集合的子集;(2)若整数a是素数，则a是奇数;(3)一次函数的图象是直线吗？(4)若平面内两条直线不相交，则这两条直线平行;(5);(6)x15.222真命题真命题真命题假命题上面(2)(4)具有“若p,则q”的形式.（1)（5）也可改写成这种形式“若p,则q”也可写成“如果p,那么q”、“只要p,就有q”等形式.其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.例2指出下列命题中的条件p和结论q;(1)若整数a能被2整除,则a是偶数;(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分.有一些命题表面上不是“若p,则q”的形式,但可以改写成“若p,则q”的形式,例如:对顶角相等；全等三角形的对应边相等.例3将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假:(1)垂直于同一条直线的两条直线平行;(2)负数的立方是负数;(3)对顶角相等;(4)等腰三角形两腰的中线相等;(5)无理数是实数;(6)没有一个无理数不是实数.思考?下列语句是命题吗?(1)x15;(2)2x+1=3;(3)x能被2和3整除.有些语句中含有变量，在没有给出这些变量的值之前无法判断语句的真假，这种含有变量的语句叫开语句,开语句不是命题.（1）全校所有的学生都参加了校运会；（2）所有的中国公民的合法权利都受到中国宪法的保护；（3）每一个中国公民都有遵守宪法的义务；（4）任何中国公民都不能违背中华人民共和国宪法；观察下列命题：（5）对任意的实数x，都有x2≥0；Z,xx使（6）存在能被3和5都整除.1.1.2量词1.全称量词：表示全体的量词在逻辑中称为全称量词.“所有”、“任意”、“每一个”等x读作：“对任意x”2R,0xx2R,10;xxx记作：2.全称命题：含有全称量词的命题称为全称命题.其一般形式为：,()xMpxM为给定的集合，p(x)是M中所有元素都具有的性质()xMPx读作对任意属于，有成立.判断全称命题的真假：（1）所有的素数是奇数;（2）x∈R,x2+1≥1;（3）对每个无理数x，x2也是无理数.要判定全称命题“x∈M,p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题.如何判断一个全称命题的真假？观察下列命题:有的平行四边形是菱形;有一个素数不是奇数;有的平行四边形的四个内角都是直角;存在一个函数,图象不关于原点对称;有一些实数不能做分母.3.存在量词：表示个体或部分的量词在逻辑中称为存在量词.“至少有一个”、“存在一个”、“有些”、“有的”x读作：“存在x”记作：2R,20xxx4.存在性命题(特称命题)：含有存在量词的命题称为存在性命题.其一般形式为：,()xMpxM为给定的集合，p(x)是M中有（存在）一些元素具有的性质.读作：存在一个x属于M，使p(x)成立判断存在性命题的真假：（1）有一个实数x，使x2+2x+3=0;（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线;（3）有些数只有两个正因数;（4）存在实数x，使≤0;（5）存在整数x能被3和5都整除.要判定存在性命题“x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则存在性命题是假命题.如何判断一个存在性命题的真假？22xx例2.判断下列命题的真假：3Z,1xx2R,20xx2Q,3xx4N,1xx（1）（2）（3）（4）例与练例1.用量词符号表示下列命题：（1）任意一个实数的绝对值都是非负数；（2）存在一个自然数x，使268.xx是负数R,||0xx2N,680xxx真假真假1.2基本逻辑联结词在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。1.且小红是共青团员，且学习成绩全班第一；2既是质数又是偶数；12能被3整除且能被4整除；逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”“及”“和”相当，它表达了两层含义.P1:小红是共青团员，q1:小红学习成绩全班第一；P2:2是质数,q2:2是偶数;一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q.读作“p且q”。例1.把下列命题用“且”联结成新命题，并判断它们的真假：（1）p：正方形的四条边相等，q：正方形的四个角相等；（2）p：35是5的倍数，q：35是8的倍数；（3）p：三角形两条边的和大于第三边，q：三角形两条边的差小于第三边.（1）p∧q真（2）p∧q假（3）p∧q真命题p∧q真与假的判定（真值表）：pqp∧q真真真假假真假假假假假真当p,q都是真命题时，p∧q是真命题；当p,q命题中有一个是假命题，则p∧q是假命题.如果p∧q是真命题，则p、q一定都是真命题，如果p∧q是假命题，则p、q两个命题中至少有一个是假命题.由逻辑联结词“且”构成的命题的含义：A∩B={x|(x∈A)∧(x∈B)}深化理解概念我们可以用“且”来定义集合A和B的交集例2：将下列命题用“且”联结成复合命题，并判断他们的真假。（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形对角线的长相等；（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；p∧q是真p∧q是假（3）1既是奇数，又是质数；p∧q是假向东走或向西走要苹果或要香蕉不可兼可兼√2.或一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q.读作“p或q”。由“或”的含义，我们可以用“或”来定义集合A和B的并集：A∪B={x|(x∈A)∨(x∈B)}深化理解概念p或q形式复合命题的真值表pqp∨q真真真假假真假假假真真真如果p,q两个命题中至少一个是真命题，则p∨q是真命题；只有当p,q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题。如果p∨q是真命题，则p、q至少有一个是真命题。如果p∨q是假命题，则p、q两个命题中一定都是假命题.例3：判断下列命题的真假：（1）3≥3（3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等。（2）集合A是集合A∪B的子集或是集合A∩B的子集真命题真命题假命题（4）24是8的倍数或24是9的倍数.（5）方程x2-3x-4=0的判别式大于或等于0;真命题真命题思考：如果为p∧q真命题，那么p∨q一定是真命题吗？反之，如果p∨q为真命题，那么p∧q一定是真命题吗？是不一定思考：如果为p∧q假命题，那么p∨q一定是假命题吗？反之，如果p∨q为假命题，那么p∧q一定是假命题吗？是不一定问题：下列各组命题中的两个命题间有什么关系？（1）①35能被5整除；②35不能被5整除;（2）①方程x2+x+1=0有实数根;②方程x2+x+1=0无实数根。3、非一般地，对一个命题p加以否定，就得到一个新命题，记作￢p,读作“非p”或“p的否定”显然p与￢p不能同真或同假，其中一个为真，另一个必然为假.深化理解概念由“非”的含义，我们可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集：{|()}{|}UAxUxAxUxAðp与“非p”的真值表：p￢p真假￢(￢p)=p.假真例4.写出下列语句的非;(1)3是奇数；(2)有些三角形是钝角三角形；(3)1023;(4)一切分数都是有理数；(5)我们班同学中至少有5个身高大于1.8米；(6),23;(7)23xRxxx或；下面给出一些关键词的否定：正面语词等于大于小于是否定不等于不大于（小于等于）不小于（大于等于）不是正面语词或都是至少一个至多一个否定且不都是一个也没有至少两个1.存在性命题的否定：存在性命题：p:x∈A,p(x),它的否定是：￢p:x∈A,￢p(x).2.全称命题的否定：全称命题：q:x∈A,q(x),它的否定是：￢q:x∈A,￢q(x).1、任意三角形都有外接圆；2、任何无理数的平方仍然是无理数；例3.判断下列命题的真假：3、有些实数不存在平方根．巩固练习1.下列命题中为全称命题的是（）A.今天有人请假B.矩形都有外接圆C.存在一个实数与它的相反数的和为0D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行2.下列命题中真命题的是（）A.任何一个一元二次方程都有不相等的两实根B.一切实数都有平方根C.有些二次函数的图象不是抛物线D.存在体积相等的球和正方体3.“任何一个三角形的三条高线都交于一点”是一个_____性命题（填“全称”、“存在”）它是一个_____命题.（填“真”、“假”）4.判断下列命题的真假：2N,320xxx2Q,QxxN,xxx2R,41290xxx（1）（2）（3）（4）课堂小结两种命题的含义2.要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中，找到一个元素x，使p(x)为真，否则命题为假.1.要判断一个全称命题为真，必须对给定的集合中的每一个元素x，使p(x)为真；要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合中找到一个元素x，使p(x)为假.