初中数学竞赛《圆》

2、（05）已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于（）A、30°B、45°C、60°D、90°3．（06）正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则QAQC的值为（）（A）132（B）32（C）23（D）235（07）已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（）．（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心10．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则AHAB的值为．8、△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心l作DE∥BC，分别与AB、AC相交于点D，E，则DE的长为。9、已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A（第3题图）ABCDOQPB1IC1A1BC（第8题）CEIADB的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）。A、52aB、1C、32D、a1（04）．D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得ACBADP，求PDPB的值.4．（06）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．6．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以（第4题）ABCOPEK点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．7．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足DEADCFBC．若CD，FE的延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD．求证：（1）ADPDBCPC；（2）△PAB∽△PDC．11（10）．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF.求证：tanEFPADBC．12（11）、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙1O和△BCH的外接圆⊙2O相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。初中数学竞赛《圆》历届考题（第12B题）（第12A题）（第12B题）1（04）．D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得ACBADP，求PDPB的值.解：连结AP，则ADPACBAPB，所以，△APB∽△ADP，…………………………（5分）∴ADAPAPAB，所以223ADADABAP，∴ADAP3，…………………………（10分）所以3ADAPPDPB.…………………………（15分）2、（05）已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于（）A、30°B、45°C、60°D、90°答：C解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r（r为△ABC的内切圆半径），所以点I同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC的交点为D，则IB＝IA1＝2ID，所以∠IBD＝30°，同理，∠IBA＝30°，于是，∠ABC＝60°3．（06）正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则QAQC的值为（）（A）132（B）32（C）23（D）23答：D．解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r＋m，QA=r－m．在⊙O中，根据相交弦定理，得QA·QC=QP·QD．即(r－m)(r＋m)=m·QD，所以QD=mmr22．连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2＋QO2，即22222mrmmr，解得rm33所以，231313mrmrQAQCA1BCDAB1C1I（第3题图）ABCDOQP4．（06）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．证明：因为AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切线，所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是△KPE∽△KAP，所以KPKEKAKP，即KAKEKP2．由切割线定理得KAKEKB2所以KBKP．…………………………10分因为AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是ACKPCEPE故ACKBCEPE，即PE·AC=CE·KB．………………………………15分5（07）已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（）．（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心答：（B）．解：如图，连接BE，因为△ABC为锐角三角形，所以BAC，ABE均为锐角．又因为⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，所以BACABE．于是，2BECBACABEBAC．若△ABC的外心为1O，则12BOCBAC，所以，⊙O一定过△ABC的外心．故选（B）．6．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别（第4题）ABCOPEK（第3题答案图）（第13A题答案图）为,EF，则CE∥DF．因为AB是⊙O的直径，所以90ACBADB．在Rt△ABC和Rt△ABD中，由射影定理得22PAACAEAB，22PBBDBFAB．……………5分两式相减可得22PAPBABAEBF，又22()()PAPBPAPBPAPBABPAPB，于是有AEBFPAPB，即PAAEPBBF，所以PEPF，也就是说，点P是线段EF的中点．因此，MP是直角梯形CDFE的中位线，于是有MPAB，从而可得MP分别与⊙A和⊙B相切．7．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足DEADCFBC．若CD，FE的延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD．求证：（1）ADPDBCPC；（2）△PAB∽△PDC．证明：（1）连接PE，PF，PG，因为PDGPEG，所以PDCPEF．又因为PCGPFG，所以△PDC∽△PEF，于是有,PDPECPDFPEPCPF，从而△PDE∽△PCF，所以PDDEPCCF．又已知DEADCFBC，所以，ADPDBCPC．………………10分（2）由于PDAPGEPCB，结合（1）知，△PDA∽△PCB，从而有,PAPDPBPCDPACPB，所以APBDPC，因此△PAB∽△PDC．………………15分8、△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心l作DE∥BC，分别与AB、AC相交于点D，E，则DE的长为163。解：如图，设△ABC的三边长为,,abc，内切圆l的半径为r，BC边上的高为ah，则11()22aABCahSabcr，所以arahabc，ABCDEIrha（第8题）因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成比例，因此,aahrDEhBC所以DE＝()(1)(1)aaahrraabcaaahhabcabc故DE＝8(79)168796。9、已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（B）。A、52aB、1C、32D、a解：如图，连接OE，OA，OB，设∠D＝a，则∠ECA＝120°－a＝∠EAC又因为∠ABO＝11(601802)12022ABDaa所以△ACE≌△ABO，于是AE＝OA＝110．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则AHAB的值为．解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF．由题设知13ACAD，13ABAE，在△FHA和△EFA中，90EFAFHA，FAHEAF所以Rt△FHA∽Rt△EFA，AHAFAFAE.而AFAB，所以AHAB13.11（10）．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，ABCODE（第9题）（第10题）BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF.求证：tanEFPADBC．证明：如图，连接ED，FD.因为BE和CF都是直径，所以ED⊥BC，FD⊥BC，因此D，E，F三点共线.…………（5分）连接AE，AF，则AEFABCACBAFD，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD.由△ABC∽△AEF可得EFAHBCAP，从而EFPDBCAP，所以tanPDEFPADAPBC.…………（20分）12（11）、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙1O和△BCH的外接圆⊙2O相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。证明：如图，延长AP交⊙2O于点Q连结AH，BD，QC，QH∵AB为直径∴∠ADB＝∠BDQ＝900∴BQ为⊙2O的直径于是CQ⊥BC，BH⊥HQ∵点H为△ABC的垂心∴AH⊥BC，BH⊥AC∴AH∥CQ，AC∥HQ，四边形ACHQ为平行四边形则点P为CH的中点。（第12B题）（第12A题）（第12B题）（第11题）ABC1OH2OPDQ