高一数学下学期知识点及练习

第1页共21页高一下数学知识点总结及练习一、解三角形（一）正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（其中R表示三角形的外接圆半径）适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角；（2）已知两边和对角，求其他边或其他角。变形：①2sinaRA，2sinbRB，2sincRC②sin2aAR，sin2bBR，sin2cCR③sinsinsinabcABC=2R④::sin:sin:sinabcABC(二)余弦定理：2b=Baccacos222（求边）Bcos=acbca2222（求角）适用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。（三）三角形的面积：①ahaS21；②AbcSsin21；③CBARSsinsinsin22；④RabcS4；⑤))()((cpbpappS；⑥prS（其中2abcp，r为内切圆半径）（四）三角形内切圆的半径：2Srabc，特别地，2abcr斜直（五）△ABC射影定理：AcCabcoscos，…第2页共21页（六）三角边角关系：（1）在ABC中，ABC；sin()ABsinC；cbacos)cos(2cos2sinCBA2sin2coscBA（2）边关系：a+bc，b+ca，c+ab，a－bc，b－ca，c－ab；（3）大边对大角：BAba考点剖析：（一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用例1、在△ABC中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ,b=4,a+c=8,求a、c的长.例1、解：由正弦定理，得CcAasinsin∵ca2∴CcCasin2sin∴Ccacos2又8ca∴cccocC28①由余弦定理，得CCcCabbac222222cos1616cos4cos2②入②，得)舍(44或524516acac∴516524ca，变式1、在△ABC中，角A、B、C对边分别为cba,,，已知bcaccaacb222,且，（１）求∠A的大小；（２）求cBbsin的值变式1、解（１）∵bcaccaacb222,∴bcacb222在△ABC中，由余弦定理得第3页共21页2122cos222bcbcbcacbA∴∠A＝060（２）在△ABC中，由正弦定理得abB060sinsin∵0260,Aacb∴2360sin60sinsin002cabcBb变式2、在ABC中，AB、为锐角，角ABC、、所对的边分别为abc、、，且510sin,sin510AB（I）求AB的值；（II）若21ab，求abc、、的值。变式2、解（I）∵AB、为锐角，510sin,sin510AB∴2225310cos1sin,cos1sin510AABB253105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB∵0AB∴4AB（II）由（I）知34C，∴2sin2C由sinsinsinabcABC得5102abc，即2,5abcb又∵21ab∴221bb∴1b∴2,5ac（二）考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用例2、如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？例2、解：设AOB，在△AOB中，由余弦定理得：第4页共21页2222cosABOAOBOAOBAOB2212212cos54cos于是，四边形OACB的面积为S=S△AOB+S△ABC213sin24OAOBAB1321sin(54cos)245353sin3cos2sin()434因为0，所以当32，56，即56AOB时，四边形OACB面积最大．变式2、已知向量(,)macb，(,)nacba，且0mn，其中,,ABC是△ABC的内角，,,abc分别是角,,ABC的对边.(1)求角C的大小；（2）求sinsinAB的取值范围.变式2、解：（1）由0mn得()()()0acacbba222abcab由余弦定理得2221cos222abcabCabab∵0C∴3C(2)∵3C∴23AB∴sinsinAB=2sinsin()3AA22sinsincoscossin33AAA33sincos22AA313(sincos)22AA3sin()6A∵203A∴5666A∴1sin()126A∴33sin()326A即3sinsin32AB.（三）考查三角形形状的判断例3、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,b=acosC,且第5页共21页△ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为31。（1）判断△ABC的形状；（2）求△ABC的面积。例3、解：（1）b=acosC，由正弦定理得sinB=sinAcosC（1）B=π-(A+C)sinB=sin(A+C),从而（1）式变为sin(A+C)=sinAcosC，cosAsinC=0,又A，C),0(cosA=0，A=2，△ABC是直角三角形。（2）△ABC的最大边长为12，由（1）知斜边a=12，又△ABC最小角的正弦值为31，Rt△ABC的最短直角边为1231=4，另一条直角边为28S△ABC=28421=162变式3、在△ABC中，若BACBAcoscossinsinsin.(1)判断△ABC的形状；(2)在上述△ABC中，若角C的对边1c，求该三角形内切圆半径的取值范围。变式3、解：（1）由BACBAcoscossinsinsin可得12sin22C0cosC即C＝90°△ABC是以C为直角顶点得直角三角形（2）内切圆半径cbar211sinsin21BA212214sin22A内切圆半径的取值范围是212,0第6页共21页二、数列知识点一：通项与前n项和的关系任意数列的前n项和；注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：（1）求，（2）求出当n≥2时的，（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法1.叠加累加法：，则，，…，2.叠乘累乘法：，则，，…，知识点三：数列应用问题1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2.建立数学模型的一般方法步骤.①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：第7页共21页⑴明确问题属于哪类应用问题；⑵弄清题目中的主要已知事项；⑶明确所求的结论是什么.②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.规律方法：1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想；2.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.3.加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意：（1）通过知识间的相互转化，更好地掌握数学中的转化思想；（2）通过解数列与其他知识的综合问题，培养分析问题和解决问题的综合能力.经典例题：类型一：叠加法求数列通项公式1．在数列中，，，求.总结升华：1.在数列中，，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列.2.当数列的递推公式是形如的解析式，而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得.第8页共21页举一反三：【变式1】已知数列，，，求.【变式2】数列中，，求通项公式.类型二：叠乘法求数列通项公式2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.总结升华：1.在数列中，，若为常数且，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列.2．若数列有形如的解析关系，而的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得.举一反三：【变式1】在数列中，，，求.【变式2】已知数列中，，，求通项公式.类型三：倒数法求通项公式3．数列中，,，求.总结升华：1．两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项.2．若数列有形如的关系，则可在等式两边同乘第9页共21页以，先求出，再求得.举一反三：【变式1】数列中，，，求.【变式2】数列中，,，求.类型四：待定系数法求通项公式4．已知数列中，，，求.总结升华：1．一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.2．若数列有形如（k、b为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得.举一反三：【变式1】已知数列中，，求【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.类型五：和的递推关系的应用5．已知数列中，是它的前n项和，并且,第10页共21页.(1)设,求证：数列是等比数列；(2)设，求证：数列是等差数列；(3)求数列的通项公式及前n项和.总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列，求得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略.举一反三：【变式1】设数列首项为1，前n项和满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比为，作数列，使，，求的通项公式.类型六：数列的应用题6.在一直线上共插13面小旗，相邻两面间距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？总结升华：本题属等差数列应用问题，应用等差数列前项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程.第11页共21页三、一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c0与ax2＋bx＋c0的解集的关系，可归纳为：判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有两相异实根x＝x1或x＝x2有两相同实根x＝x1无实根一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c0(a0){x|xx1或xx2}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c0(a0){x|x1xx2}∅∅若a0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．解一元二次不等式应注意的问题：(1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数．(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况．(3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号．(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同．一元二次不等式的解法[例1]解下列