2020版黄冈名师数学(理)大一轮(课件+核心素养提升练)-(24)

第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算(全国卷5年5考)【知识梳理】1.向量的有关概念定义既有_____又有_____的量表示方法(1)用字母表示a,b,c(2)用有向线段表示,记作模向量的大小大小方向AB2.必记概念(1)零向量:长度为__的向量,方向任意.(2)单位向量:长度为__的向量.(3)相等向量:方向_____,长度_____的向量.(4)相反向量:方向_____,长度_____的向量.(5)共线(平行)向量:方向_____或方向_____的非零向量.01相同相等相反相等相同相反3.向量的线性运算加法减法数乘定义求两个向量和的运算a+(-b)=a-b实数λ与向量a的积是一个_____,记作λa向量加法减法数乘法则(或几何意义)(1)模:|λa|=|λ||a|(2)方向:当λ0时,λa与a方向_____;当λ0时,λa与a方向______;当λ=0时,λa=0相同相反4.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使______.b=λa【常用结论】1.相等向量的特点:(1)两向量起点相同,终点相同,则两向量相等.(2)两相等向量,如果起点相同,则其终点也相同.(3)两相等向量,如果起点不同,则其终点也不同.(4)向量相等具有传递性,非零向量的平行具有传递性.(5)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.2.两特殊向量的特点:(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模是确定的,但方向不确定.(2)非零向量a的同向单位向量为.aa3.三点共线的条件:A,B,C三点共线,O为A,B,C所在直线外任意一点,则且λ+μ=1.OAOBOC【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.()(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.()(3)若向量a与b不相等,则a与b一定不可能都是零向量.()提示:(1)×.向量是既有大小又有方向的量,而有向线段是有起点和终点的线段,两者并不一样,所以命题(1)错误.(2)×.当b=0时,a与c不一定平行,所以命题(2)错误.(3)√.假设a与b都是零向量,则向量a与b相等,所以命题(3)正确.2.给出下列四个命题:①两个具有公共终点的向量一定是共线向量;②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;③λa=0(λ为实数),则λ必为零;④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中假命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.命题①因为两个向量具有公共终点,但其起点不确定,所以这两个向量不一定共线,所以该命题错误;对于命题②,因为向量是既有大小又有方向的量,而方向是不能比较大小的,所以该命题正确;对于命题③,因为λa=0时,可能λ=0,也可能a=0,所以命题③不正确;对于命题④,当λ=μ=0时,a与b不一定共线,所以命题④错误.题组二:走进教材1.(必修4P91T8改编)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则()A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a||b|【解析】选A.依题意得(a+b)2-(a-b)2=0,即4a·b=0,所以a⊥b.2.(必修4P119T1(2)改编)已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则|a+b+c|等于()A.0B.3C.D.222ABBCAC【解析】选D.在正方形ABCD中,a+b+c=所以|a+b+c|=2||=2.ABBCACACAC2AC，AC2考点一平面向量的基本概念【题组练透】1.下面说法正确的是()A.平面内的单位向量是唯一的B.所有单位向量的终点的集合为一个单位圆C.所有的单位向量都是共线的D.所有单位向量的模相等【解析】选D.因为平面内的单位向量有无数个,所以选项A错误;当单位向量的起点不同时,其终点就不一定在同一个圆上,所以选项B错误;当两个单位向量的方向不相同也不相反时,这两个向量就不共线,所以选项C错误;因为单位向量的模都等于1,所以选项D正确.2.给出下列命题:①零向量是唯一没有方向的向量;②零向量的长度等于0;③若a,b都为非零向量,则使=0成立的条件是a与b反向共线.abab其中错误的命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①错误,零向量是有方向的,其方向是任意的;②正确,由零向量的定义可知,零向量的长度为0;③正确,因为与都是单位向量,所以只有当与是相反向量,即a与b反向共线时才成立.aabbaabb3.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是()A.a与-λa的方向相反B.|-λa|≥|a|C.a与λ2a的方向相同D.|-λa|=|λ|a【解析】选C.当λ0时,a与-λa的方向相同,所以选项A错误;当|λ|1时,选项B不成立,所以选项B错误;因为λ是非零实数,所以λ20,因此a与λ2a的方向相同,所以选项C正确;又因为|-λa|是一个实数,|λ|a是一个向量,所以选项D错误.4.设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行,且|a|=1,则a=a0.上述命题中,其中是假命题的是________(填序号).【解析】对于命题①,当a与a0方向不同时,该命题是错误的;对于命题②,当a与a0反向时,该命题是错误的;对于命题③,当a与a0反向时,该命题是错误的.答案:①②③5.下列与共线向量有关的命题:①相反向量就是方向相反的向量;②a与b同向,且|a||b|,则ab;③两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件.其中错误命题的序号为________.【解析】因为相反向量是方向相反,大小相等的两个向量,所以命题①是错误的;因为向量是既有大小又有方向的量,所以任何两个向量都不能比较大小,所以命题②是错误的;因为两个向量平行不能推出两个向量相等,而两个向量相等,则这两个向量平行,因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件,所以命题③是正确的.答案:①②6.下列四个命题:①若|a|=0,则a=0;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③若a∥b,则a与b同向或反向;④若a=0,则-a=0.其中正确命题的序号为________.【解析】若|a|=0,则a=0,故①错误;|a|=|b|只说明a与b的模相等,它们的方向不能确定,故②错误;若a∥b且a,b为非零向量时,a与b的方向相同或相反,当其中一个向量为零向量时,另一个向量的方向任意,故③错误;④正确.答案:④【规律方法】解答向量概念型题目的要点(1)准确理解向量的有关知识,应重点把握两个要点:大小和方向.(2)向量线性运算的结果仍是向量,准确运用定义和运算律仍需从大小和方向角度去理解.【特别提醒】(1)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小.(2)大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征.(3)向量可以自由平移,任意一组平行向量都可以移到同一直线上.【拓展】三角形四心的向量表示在三角形ABC中,点O为平面内一点,若满足:1.=0,则点O为三角形的重心.2则点O为三角形的外心.OAOBOC|OA||OB||OC|，3.则点O为三角形的垂心.4.=0,则点O为三角形的内心.OAOBOBOCOCOA,|BC|OA|AC|OB|AB|OC考点二平面向量的线性运算【典例】(1)下列四个结论:①=0;②=0;③=0;ABBCCAABMBBOOMABACBDCD④=0.其中一定正确的结论个数是()A.1B.2C.3D.4NQQPMNMP【解析】选C.①=0,①正确;②②错;③=0,③正确;④=0,④正确.故①③④正确.ABBCCAACCAABMBBOOMABMOOMAB，ABACBDCDCBBDDCCBBCNQQPMNMPNPPN(2)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则=世纪金榜导学号()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+bACBDAF1412231312141323【解析】选B.如图,因为E是线段OD的中点,所以由平行四边形的性质得所以a+b.EFDEDF1EAEBAB3，AFADDF1ADDC31AOODOCOD3（）（）21ACBD332313【一题多解微课】本例题(2)还可以采用以下方法求解:待定系数法:选B.由题意易知设因为所以于是:1AFADAB3，AFxACyBD，ACADABBDADAB，，AFxyADxyAB，2xy1,x,311xy,y33得，所以=a+b.21AFACBD332313三点共线法:选B.因为D,F,C三点共线,所以存在实数λ,使又因为E是OD的中点,所以因为A,E,F三点共线,所以存在μ∈R,使所以AFAD(1)AC,AE11ADAO22，AFAE,AD(1)ACADAOADAC,2224所以=a+b.2,,3241,,43于是得2121AFADAC(ODOA)AC3333212BD32323131112ACACBDAC2333【规律方法】1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解.2.三种运算法则的关注点(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”,平行四边形法则要求“起点相同”.(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”.(3)数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实数运算.【对点训练】1.如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,那么等于()EF1111A.ABADB.ABAD23421112C.ABDAD.ABAD3223【解析】选D.根据向量加法、减法的三角形法则可知EFAFAE(ABBF)(ADDE)11(ABAD)(ADAB)3212ABAD.232.(2018·全国卷I)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()EB3113A.ABACB.ABAC44443113C.ABACD.ABAC4444【解析】选A.如图所示11131EBABAEABADAB(ABAC)ABAC.222443.若=a,=b,a与b不共线,则∠AOB平分线上的向量为()OAOBOMA.B.C.D.(OMababababbaabababab)，由确定【解析】选D.以OM为对角线,以,方向为邻边作平行四边形OCMD,因为OM平分∠AOB,所以平行四边形OCMD是菱形.设OC=OD=λ,则所以λ且λ由确定.OAOBOCODabab，，OMOCOD(abab)，OM考点三共线向量定理及其应用【明考点·知考法】向量共线作为考查向量线性运算知识的载体,是高考命题的热点,试题常以选择题、填空题的形式出现,考查向量共线的判断、证明诸点共线以及向量共线求参数等问题.解题过程中常常渗透数学运算的核心素养.命题角度1判断向量共线【典例】已知P是△ABC所在平面内的一点,若+其中λ∈R,则点P一定在()A.△ABC的内部B.AC边所在直线上C.AB边所在直线上D.BC边所在直线上CBPAPB，【解析】选B.由+得则为共线向量,又有一个公共点P,所以C,P,A三点共线,即点P在直线AC上.CBPAPBCBPBPACPPA.，CP,PACP,PA【状元笔记】证明向量共线的方法:应用向量共线定理.对于向量a,b(b≠0),若存在实数λ,使得a=λb,则a与b共