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133第10章四边形的趣味问题复习第一节四边形的分类与判定【知识点拨】1、四边形的性质：四边形的内角和等于3600。2、四边形的的分类：（1）对边平行；（2）对边不平行。本节研究是对边不平行的四边形。没用方法是转化为三角形进行研究。【赛题精选】例2、如图：求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数。（1999年重庆市竞赛题）134【说明】探索存在型问题是指在一定条件下，判断是否存在某个结论。解答这类问题，先假设结论存在，从假设出发，根据题设条件及有关性质进行推理论证，若推出矛盾，则不定假设，若推出合理的结果，则说明假设正确。这种方法叫“假设法”。135【说明】对于四边形，作对角是常用的辅助线！136【针对训练】137第二节平行四边形的问题【知识点拨】1、平行四边形性质：对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分。2、矩形性质：矩形除具有平行四边形的性质外，还具有对角线相等、四个角是直角。3、菱形性质：除具有平行四边形的性质外，还有四条边相等、对角线互相垂直、且每一条对角线平分一组对角。4、平行四边形问题的处理方法：（1）转化为三角形问题来处理；（2）常用平行四边形的性质来处理。【赛题精选】例2、凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＋BC＝CD＋AD求证：ABCD是平行四边形。（1990年芜湖市竞赛题）例3、平面上有三个正△ABD、△ACE、△BCF，两两共有一个顶点。求证：CD与EF互相平分。（1990年芜湖市竞赛题）138例4、在Rt△ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E、，F是BE上一点，且BF＝CE。求证：FK∥AB。（大连市第八届“育英杯”竞赛题）例6、矩形ABCD中，AB＝20cm，BC＝10cm，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM＋MN的值最小，求这个最小值。（1998年北京市竞赛题）139例7、设P为等腰三角形ABC斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF于G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD＝PC。求证：BC⊥BD且BC＝BD。140【针对训练】141142第三节梯形的判定和中位线定理【知识点拨】1、梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。2、等腰梯形的性质与判定性质定理：等腰梯形在同一底上的两个角相等。判定定理：在同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。3、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，且等于两底和的一半。对于梯形的问题，往往是通过作辅助线，将梯形问题转化成三角形或平行四边形问题来解决。常用的辅助线如下：【赛题精选】例1、已知E、F、G分别是AB、BC、CA的中点，AD⊥BC于D。求证：四边形EFDG是等腰梯形。【说明】一组对边平行的四边形可能是梯形，还可能是平行四边形！因此，要证明一个四边形是梯形，必须证这个四边形的另一组对边不平行，证明一组对边不平行的方法有：（1）、证明四边形的一组对边平行且不相等，则这个四边形不是平行四边形，因而另一组对边不平行；（2）利用经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，而经过这点的其它直线与这条直线不平行进行证明。例2、已知一个梯形的四条边的长分别是1、2、3、4，求此梯形的面积。（2000年全国联赛试题）143【说明】对于涉及梯形的两底角互余问题，常将其转化为直角三角形问题。本题有辅助线还可过点N分别作AB、AC的平行线，证MN＝21（BC－AD）即可。【说明】以上介绍的几种辅助线要知道，还应通过做题总结出何时作何种辅助线。如本题在结论中有两底的和或题设中有关于对角线的条件，辅助线常作对角线的平行线。例5、在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC、BD相交于O，∠ACD＝600，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点。（1）求证：△PQS是等边三角形。144（2）若AB＝5，CD＝3，求△PQS的面积。（3）若△PQS的面积与△AOD的面积比是7：8，求梯形上下底的比CD：AB＝？（1999年“希望杯”邀请赛试题）例6、分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE、CBFG，点P是EF的中点，求证点P到边AB的距离是AB的一半。（1996年山东省竞赛题）【说明】本题构造梯形及梯形中位线，并通过线段的你的代换，使问题获得解决！例7、已知四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它的和为16。（1）这样的四边形有几个？（2）求这样的四边形连长的平方和的最小值。145（200年全国初中联赛题）146【针对训练】147148第四节正方形问题【知识点拨】1、正方形的性质：四个角都是直角、四条边均相等、对角线相等且相互垂直平分、每一条对角线平分一组对角。2、解决方法：正方形问题通常也是转化为三角形问题来解决。如求正方形的边长，可利用勾股定理列方程来求；证明两条线段相等，需证明现两线段所在三角形全等；在解题时，要充分利用正方形的性质。【赛题精选】例1、若将正方形分成K个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则K的值为（）（2001年全国联赛题）A、6B、8C、10D12例2、在线段GB的延长线上，四边形ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7cm2、11cm2。求△CDE的面积。（2002年北京市中学生竞赛题）例3、正方形ABCD中，E为BF上一点，四边形AEFC恰为一菱形。求∠EAB的度数。例4、正方形ABCD中，DC的中点为E、F为CE的中点。149求证：∠DAE＝21∠BAF。【说明】要证一个大角是一个小角的n倍，或证一个小角是一个大角的n分之一，可把大角n等分，然后再证其中的一个等于小角。例5、EFGH是正方形，ABCD的内四边形，∠BEG、∠CFH都是锐角，已知EG＝3，FH＝4，四边形EFGH的面积为5。求正方形ABCD的面积。（2000年全国联赛题）例6、正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个矩形，P是EF、GH的交战，若矩形PFCG的面积恰是矩形AGPE面积的2倍。试确定∠HAF的大小并证明之。【说明】对于正方形问题，常将某个三角形绕正方形的某个顶点旋转900，将分散的条件集中，使问题得到解决。本题中证FH＝FM是利用代数计算的方法证明的，这种方法是证明线段、角相等的常用方法。例7、在正方形ABCD内任取一点E，连接AE、BE，150在△ABE外分别以AE、BE为边作正方形，AEMN、EBFG，连接NC、AF。求证：NC＝AF。【说明】正方形中的证线段相等，证角相等常利用三角形全等来证，而正方形的性质常为证全等提供方便。例8、如图，∠MON＝900，点A、D在OM上，点B、C在ON上，且AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、AC、DG、BD的中点。求证：四边形EFGH是正方形。151【针对训练】152153