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数学（文科）试题A第1页共8页2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．题号12345678910答案DACBCADBBD二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．题号1112131415答案23-60343116．（本小题满分12分）解：（1）因为::7:5:3abc=，所以可设7ak=，5bk=，3ck=()0k，…………………………………………………………2分由余弦定理得，222cos2bcaAbc+-=()()()222537253kkkkk+-=´´…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知，1cos2A=-，因为A是△ABC的内角，所以23sin1cos2AA=-=．…………………………………………6分由正弦定理2sinaRA=，…………………………………………………………………………………7分得32sin2141432aRA==´´=．…………………………………………………………………8分由（1）设7ak=，即23k=，所以5103bk==，363ck==．………………………………………………………………10分所以1sin2ABCSbcAD=131036322=´´´……………………………………………………11分453=．所以△ABC的面积为453．…………………………………………………………………………12分数学（文科）试题A第2页共8页17．（本小题满分12分）解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以()10040102030n=-++=．………………………………1分年龄在[)40,50中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以4100.4b=¸=．……………2分年龄在[]50,60中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1，所以200.1a¸=，解得2a=．…………………………………………………………………………3分根据频率直方分布图，得()0.040.030.01101c+++´=，解得0.02c=．……………………………………………………………………………………………4分（2）因为年龄在[)40,50与[]50,60中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在[)40,50中答对全卷的4人记为1a，2a，3a，4a，年龄在[]50,60中答对全卷的2人记为1b，2b，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：()12,aa，()13,aa，()14,aa，()11,ab，()12,ab，()23,aa，()24,aa，()21,ab，()22,ab，()34,aa，()31,ab，()32,ab，()41,ab，()42,ab，()12,bb共15种．…………………………………………………………………………………8分其中所抽取年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：()11,ab，()12,ab，()21,ab，()22,ab，()31,ab，()32,ab，()41,ab，()42,ab，()12,bb共9种.……………………………………11分故所求的概率为53159=.………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（1）证明：连接1AB，在四边形11ABCD中，11ADBCP且11ADBC=，所以四边形11ABCD是平行四边形．所以11ABDCP．…………………………………………2分在△1ABA中，1AMAN==，13AAAB==，所以1AMANAAAB=，C1ABA1B1D1CDMN数学（文科）试题A第3页共8页所以1MNABP．…………………………………………………………………………………………4分所以1MNDCP．所以M，N，C，1D四点共面．………………………………………………………………………6分（2）解法一：记平面1MNCD将正方体分成两部分的下部分体积为1V，上部分体积为2V，连接1DA，1DN，DN，则几何体1DAMN-，1DADN-，1DCDN-均为三棱锥，所以1111DAMNDADNDCDNVVVV---=++1111111333AMNADNCDNSDASDDSDDDDD=++ggg………9分111319333323232=´´+´´+´´132=．……………………………………………………………………………………………11分从而11111213412722ABCDABCDAMNDDCVVV--=-=-=，…………………………………………………13分所以121341VV=．所以平面1MNCD分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分C1ABA1B1D1CDMN解法二：记平面1MNCD将正方体分成两部分的下部分体积为1V，上部分体积为2V，因为平面11ABBAP平面11DCCD，所以平面AMNP平面1DDC．延长CN与DA相交于点P，因为ANDCP，所以ANPADCPD=，即133PAPA=+，解得32PA=．延长1DM与DA相交于点Q，同理可得32QA=．所以点P与点Q重合．所以1DM，DA，CN三线相交于一点．所以几何体1AMNDDC-是一个三棱台．……………………………………………………………9分数学（文科）试题A第4页共8页所以1111199133322222AMNDDCVV-æö==´+´+´=ç÷ç÷èø，………………………………………………11分从而11111213412722ABCDABCDAMNDDCVVV--=-=-=，…………………………………………………13分所以121341VV=．所以平面1MNCD分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分19．（本小题满分14分）解：（1）因为()111,Pab是直线l：31yx=+与y轴的交点()0,1，所以10a=，11b=．……………………………………………………………………………………2分因为数列{}na是公差为1的等差数列，所以1nan=-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),nnnPab在直线l：31yx=+上，所以31nnba=+32n=-．所以数列{}na，{}nb的通项公式分别为1nan=-，32nbn=-()*nÎN．………………………6分（2）因为()1,32,nnfnnn-ì=í-î为奇数为偶数，，假设存在kÎ*N，使()()34fkfk+=成立．………………………………………………………7分①当k为奇数时，3k+为偶数，则有()()33241kk+-=-，解得11k=，符合题意．………………………………………………………………………………10分②当k为偶数时，3k+为奇数，则有()()31432kk+-=-，解得1011k=，不合题意．………………………………………………………………………………13分综上可知，存在11k=符合条件．………………………………………………………………………14分数学（文科）试题A第5页共8页20．（本小题满分14分）解：（1）函数()fx的定义域为()0,+¥，……………………………………………………………………1分因为()2lnfxxaxx=++，所以()121fxaxx¢=++，………………………………………………………………………………2分依题意有()10f¢=，即1210a++=，解得1a=-．………………………………………………3分此时()()()212121xxxxfxxx--+-++¢==，所以当01x时，()0fx¢，当1x时，()0fx¢，所以函数()fx在()0,1上是增函数，在()1,+¥上是减函数，………………………………………5分所以当1x=时，函数()fx取得极大值，极大值为0．………………………………………………6分（2）因为()121fxaxx¢=++221axxx++=，（ⅰ）当0a³时，………………………………………………………………………………………7分因为()0,xÎ+¥，所以()fx¢2210axxx++=，此时函数()fx在()0,+¥是增函数．……………………………………………………………………9分（ⅱ）当0a时，令()0fx¢=，则2210axx++=．因为180aD=-，此时()fx¢()()212221axxxxaxxxx--++==，其中11184axa--=-，21184axa+-=-．因为0a，所以20x，又因为12102xxa=，所以10x．……………………………………11分所以当20xx时，()0fx¢，当2xx时，()0fx¢，所以函数()fx在()20,x上是增函数，在()2,x+¥上是减函数．…………………………………13分数学（文科）试题A第6页共8页综上可知，当0a³时，函数()fx的单调递增区间是()0,+¥；当0a时，函数()fx的单调递增区间是1180,4aaæö+--ç÷ç÷èø，单调递减区间是118,4aaæö+--+¥ç÷ç÷èø．……………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C的方程为：()222xayr-+=()0r，………………………………………1分因为圆C过点()0,0和()1,1-，所以()22222,11.ararì=ïí--+=ïî………………………………………………………………………………3分解得1a=-，1r=．所以圆C的方程为()2211xy++=．…………………………………………………………………4分方法二：设()0,0O，()1,1A-，依题意得，圆C的圆心为线段OA的垂直平分线l与x轴的交点C．………………………………1分因为直线l的方程为1122yx-=+，即1yx=+，……………………………………………………2分所以圆心C的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分所以圆C的方程为()2211xy++=．…………………………………………………………………4分（2）方法一：设圆D上的动点P的坐标为()00,xy，则()220044xy-+=，即()2200440yx=--³，解得026x££．…………………………………………………………………………………………5分由圆C与圆D的方程可知，过点P向圆C所作两条切线的斜率必存在，设PA的方程为：()010yykxx-=-，PB的方程为：()020yykxx-=-，则点A的坐标为()0100,ykx-，点B的坐标为()0200,ykx-，所以120ABkkx=-，数学（文科）试题A第7页共8页因为PA，PB是圆C的切线，所以1k，2k满足00211kykxk-+-=+，即1k，2k是方程()()2220000022110xxkyxky+-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2yxkkxxykkxxì++=ï+ïí-ï=ï+î所以120ABkkx=-()()220000220000412122yyxxxxxx-+éù=-êú++ëû……………………………………………9分因为()220044yx=--，所以()02056222xABx-=+．…………………………………………………………………………10分设()()0020562xfxx-=+，则()()00305222xfxx-+¢=+．………………………………………………………………………………11分由026x££，可知()0fx在222,5éö÷êëø上是增函数，