求函数值域的几种常见方法

1求函数值域的几种常见方法河北涿州中学高二数学组------李瑞英初等函数的值域是由函数的定义域和对应法则两个因素确定的，常常一个问题要覆盖多个知识点，涉及多种数学方法，渗透多种数学思想，因此它是高中阶段的一个难点。现对高中阶段常用的方法总结如下：方法一：配方法一般适用于二次函数类型的函数例1.求函数4,1,0!6)(2xxxxf的值域解析：5,1)(4,1,1)3()(2xfxxxf方法二：换元法：适用于含根式、分式、三角函数类型的函数，且在还原过程中需注意还原后t的取值范围例2．求函数xxy21的值域解析：令xt21则2t1x02且t1)1(212ty即]21,(y方法三：分离常数法：适用于分式类型的函数，且在解题过程中注意变量的范围例3．求函数521xxy的值域解析：由题意可知函数的定义域为25/xx104721521xxxy,2121,y方法四：单调性法：主要适用于能够判断单调性的复合函数、和函数。例4．（1）求函数42221xxy的值域2（2）求函数xxy21的值域解析：（1）令422xxt则3)1(2xt3t而ty21是减函数]81,0(y（2）由题意可知函数的定义域为]21,(xxgxxf21)(,)(在定义域内都是单调增函数)()(xgxfy在定义域内也是单调增函数y]21,(方法五;反解法（利用反函数的原理）例5．求函数2211xxy的值域解析：由题意可知函数的定义域为R02x而函数2211xxy可化为yyx112011yy即]1,1(y方法六：不等式法：柯西不等式、基本不等式、绝对值不等式，在适用中注意适用范围例6.(1)求函数1loglog33xxy（x1）的值域(2)求函数xxy21015的值域（3）求函数12xxy的值域解析：（1）令x3logt则t03111211tttty当且仅当tt1即t=1时等号成立),1[y(2)由函数知其定义域为[1，5]，且y036427)5()1()2(552152222xxxxy（3）),3[3121212yxxxxxxy方法七：判别式法：一般转化为含参数y的一元二次函数，注意二次项的系数例七．求函数1122xxxy的值域解析：由函数可知定义域为R函数1122xxxy可化为01)1(2yyxxy（*）有解当y-1=0即y=1时，（*）式可化为-x=0即x=0,满足题意当1y,01即y时0)1y(4)y(22解得232y1y232且y综上：函数的值域为]2,32[方法八：平方法：注意定义域例8．求函数xxy21的值域解析：由题意可知函数的定义域为[-1，2]函数xxy21可化为6,3y6,349)21(23)2)(1(3222即yxxxy4方法九：导数法：适用于次数比较高的整式函数例9．求函数)51(,2249)(23xxxxxf的值域解析：令24183)(2'xxxf=0得4,2xx列表x1(1,2)2（2，4）4（4,5)5)('xf+0—0+)(xf18极大22极小值1822由表可知函数的值域为[18,22]方法十：构造法：构造距离、构造斜率，需数形结合求得例10．求函数102422xxxy的值域解析：2222)30()1()20()0(xxy的距离和到点轴上的点可看作函数C(-1,3)B(0,2),)0,x(Axy作B(0,2)关于x轴的对称点D(0,-2)则线段CD的长度就是y的最小值且26CD所以函数的值域为),26[练习：1、求函数2,2,33xxxy的值域2、求函数3221xxy的值域3、求函数122xxxxy的值域4、求函数12222xxxxy的值域5、求函数xxycos2sin的值域6、求函数)1(112xxxxy的值域7、求函数122xxy的值域8、求函数xxy2的值域59、求函数3,0,924421xyxx的值域10．求函数45cos3sin2xxy的值域11．求函数176log22xxy的值域总结：求初等函数的值域问题是一个综合性的问题，要想用单一的方法求函数的值域是不可能，但也不是杂乱无章的，只要我们灵活的掌握数学基础知识、思想和方法，并根据所给解析式的特征，结合定义域灵活的选择方法，并力求一题多解方可达到举一反三的效果。