立体几何100题

立体几何100题1.如图，三角形中，，是边长为l的正方形，平面底面，若分别是的中点.（1）求证：底面；（2）求几何体的体积.2．在三棱锥PABC中，PAC和PBC是边长为2的等边三角形，2AB，,OD分别是,ABPB的中点.（1）求证：//OD平面PAC；（2）求证:OP平面ABC；（3）求三棱锥DABC的体积.3．如图，在直三棱柱111ABCABC中，090BAC，2ABAC，点,MN分别为111,ACAB的中点.（1）证明：//MN平面11BBCC；（2）若CMMN，求三棱锥MNAC的体积..4．如图，在三棱柱中，平面，点是与的交点，点在线段上，平面.（1）求证：；（2）若,求点到平面的距离.5．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，1,//,2ABBCADBCABBCAD，PAD是正三角形，E是PD的中点．（1）求证：ADPC；（2）判定CE是否平行于平面PAB，请说明理由．6．如图，在四棱锥SABCD中，侧面SAD底面ABCD，SASD，//ADBC，22ADBCCD，M，N分别为AD，SD的中点．（1）求证：//SB平面CMN；（2）求证：BD平面SCM．7．如图，在矩形中，，平面，分别为的中点，点是上一个动点．(1)当是中点时，求证:平面平面；(2)当时，求的值．8．如图，在正三棱柱111ABCABC中，点,DE分别是1,ACAB的中点．求证：ED∥平面11BBCC若12ABBB求证：A1B⊥平面B1CE.9．如图，在长方体1111ABCDABCD中，12,1,1ABADAA.（1）证明直线1BC平行于平面1DAC；（2）求直线1BC到平面1DAC的距离.10．如图所示，菱形ABCD与正三角形BCE所在平面互相垂直，FD平面ABCD，且2AB，3FD.（1）求证：//EF平面ABCD；（2）若3CBA，求几何体EFABCD的体积.11．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证：（Ⅰ）平面AB1E⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）A1C//平面AB1E．12．如图，在三棱柱中，平面，，，点为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.13．如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，为中点，平面平面.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.14．已知三棱锥，，，为的中点，平面，，，是中点，与所成的角为，且.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.15．在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，，.（1）设是上一点，求证：平面平面.（2）求四棱锥的体积.16．如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为菱形，60ABC，1,PAPBE为PC的中点.（1）求证：//PA平面BDE；（2）求三棱锥PBDE的体积.17．如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）111ABCABC中，点G是AC的中点．（1）求证：1//BC平面1ABG；（2）若ABBC，12ACAA，求证：11ACAB．18．如图所示，四棱锥SABCD中，平面SAD平面ABCD，SAAD，//ADBC，43SABCAB24AD．（1）证明：在线段SC上存在一点E，使得//ED平面SAB；（2）若ABAC，在（1）的条件下，求三棱锥SAED的体积．19．（本小题共12分）如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与等腰直角三角形ABE所在平面互相垂直，AEAB，且2EMMD，3ABAN.（Ⅰ）求证：//MN平面BEC；（Ⅱ）求三棱锥EBMC的体积.20．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点，平面底面.（1）求证:平面；（2）若，求三棱锥的体积.21．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证：（Ⅰ）平面AB1E⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）A1C//平面AB1E．22．如图1，四边形ABCD为等腰梯形，2,1ABADDCCB，将ADC沿AC折起，使得平面ADC平面ABC，E为AB的中点，连接,DEDB.（1）求证：BCAD；（2）求E到平面BCD的距离.23．如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设，求三棱锥的体积．24．如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，为中点，平面平面.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.25．如图1，在矩形中，，，是的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面.（1）证明：平面；（2）设为的中点，在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.26．如图，在四棱锥PABCD中，90ABCACD，BAC60CAD，PA平面ABCD，2,1PAAB.设,MN分别为,PDAD的中点.（1）求证：平面CMN∥平面PAB；（2）求三棱锥PABM的体积.27．如图所示，在长方体1111ABCDABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，12AA，P为棱1BB上的一个动点.（1）求三棱锥1CPAA的体积；（2）当1APPC取得最小值时，求证：1PD平面PAC.28．在三棱柱111ABCABC中，已知侧棱1CC底面,ABCM为BC的中点，13,2,2ACABBCCC.（1）证明:1BC平面1AMC；（2）求点1A到平面1AMC的距离.29．五边形11ANBCC是由一个梯形1ANBB与一个矩形11BBCC组成的，如图甲所示，B为AC的中点，128ACCCAN．先沿着虚线1BB将五边形11ANBCC折成直二面角1ABBC，如图乙所示．（Ⅰ）求证：平面BNC平面11CBN；（Ⅱ）求图乙中的多面体的体积．30．如图1，1AFA中，11,82FAFAAACF，，点,,BCD为线段1AA的四等分点，线段,,BECFDG互相平行，现沿,,BECFDG折叠得到图2所示的几何体，此几何体的底面ABCD为正方形.（1）证明：,,,AEFG四点共面；（2）求四棱锥BAEFG的体积.31．如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，,,FGH分别是,,PCACBC的中点，I是线段FG上的任意一点，22PCABBC，过点F作平行于底面ABC的平面DEF交AP于点D，交BP于点E.（1）求证：//HI平面ABD；（2）若ACBC，求点E到平面FGH的距离.32．如图，已知正方体的棱长为3，分别是棱、上的点，且.（1）证明：四点共面；（2）求几何体的体积.33．如图，在四棱柱1111ABCDABCD中，已知平面11AACC平面ABCD，且3ABBCCA，1ADCD．（1）求证：1BDAA；（2）若E为棱BC的中点，求证：//AE平面11DCCD．34．如图，在三棱柱111ABCABC中，底面ABC是等边三角形，且1AA平面ABC,D为AB的中点，(Ⅰ)求证：直线1//BC平面1ACD；(Ⅱ)若12,ABBBE是1BB的中点，求三棱锥1ACDE的体积；35．如图，将菱形沿对角线折叠，分别过，作所在平面的垂线，，垂足分别为，，四边形为菱形，且.（1）求证：平面；（2）若，求该几何体的体积.36．如图，在四棱锥PABCD中，122PCADCDAB，//ABDC，ADCD，PC平面ABCD.（1）求证：BC平面PAC；（2）若M为线段PA的中点，且过,,CDM三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求三棱锥ACMN的高.37．如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱OB底面ABCD，且侧棱OB的长是2，点,,EFG分别是,,ABODBC的中点.（Ⅰ）证明：OD平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥OEFG的体积.38．如图，多面体ABCDEF中，//,ADBCABAD,FA平面,//ABCDFADE，且222ABADAFBCDE.（Ⅰ）M为线段EF中点，求证：//CM平面ABF；（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积.39．在如图所示的几何体中，四边形11BBCC是矩形，1BB平面ABC，1111//,2,ABABABABE是AC的中点.（1）求证：1//AE平面11BBCC；（2）若ACBC，12ABBB，求证平面1BEA平面11AAC.40．如图，四边形ABCD为梯形，ABCD，PD平面ABCD，90BADADC，22DCABa，3DAa，E为BC中点.（1）求证：平面PBC平面PDE；（2）线段PC上是否存在一点F，使PA平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明：若无，请分析说明理由.41．已知四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，60BAD，5,7SASDSB，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且SFSC，SA//平面BEF．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求三棱锥FEBC的体积．42．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥平面ABC，且D，E分别是棱A1B1，AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=14AB。（1）求证：EF∥平面BDC1；（2）求三棱锥D-BEC1的体积。43．如图2，四边形为矩形，⊥平面，,作如图3折叠，折痕，其中点分别在线段上，沿折叠后点叠在线段上的点记为，并且⊥.（1）证明：⊥平面;（2）求三棱锥的体积.44．由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD（1）证明：1AO∥平面B1CD1;（2）设M是OD的中点,证明：平面A1EM平面B1CD1.45．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，,60,PDADDABPD底面ABCD.（1）求证:ACPB（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值.46．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均为2，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1为直棱柱，求三棱锥的体积．47．如图所示，四棱锥ABCDE，已知平面BCDE平面ABC，,,26,43,30BEECDEBCBCDEABABC．（I）求证：ACBE；（II）若45BCE，求三棱锥ACDE的体积．48．在四棱锥PABCD中，PAD为正三角形，平面PAD平面ABCD，//ABCD，ABAD，224CDABAD.（Ⅰ）求证：平面PCD平面PAD；（Ⅱ）求三棱锥PABC的体积；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点E，使得//BE平面PAD?若存在，请确定点E的位置并证明；若不存在，说明理由．49．如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且．（Ⅰ）求多面体的体积；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．50．如图，三棱柱111ABCABC的侧面11ABBA为正方形，侧面11BBCC为菱形，160CBB，1ABBC.（Ⅰ）求证：平面11ABBA11BBCC；（Ⅱ）若2AB，求三棱柱111ABCABC的体积.51．在三棱柱111ABCABC中，2ACBC，120ACB，D为11AB的中点.（1）证明：1//AC平面1BCD；（2）若11AAAC，点1A在平面ABC的射影在AC上，且侧面11AABB的面积为23，求三棱锥11ABCD的体积.52．如图：ABCD是平行四边行，AP平面ABCD,BE//AP,2ABAP，1BEBC，60CBA。（1）求证：EC//平面PAD；（2）求证：平面PAC平面EBC；53．如图，四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD为梯形，//ABCD，223ABDC，，且P