考试目标

第70课棱锥●考试目标主词填空1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体.2.分类：按底面边数分：三棱锥、四棱锥……特例：正棱锥——底面是正多边形并且顶点在底面上射影是底面中心的棱锥.3.性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积之比等于截得棱锥的高和已知棱锥高的平方比.即22hhSS截底截(类推：33hhVV截截).对于正棱锥：（1）各条侧棱相等；（2）各侧面是全等的等腰三角形；（3）棱锥的高和斜高及斜高在底面上的射影构成一个直角三角形；棱锥的高和侧棱的底面上的射影也构成一个直角三角形.4.侧面积和体积：)(21为斜高底正棱锥侧hhCS.)(31为高底锥hhSV.●题型示例点津归纳【例1】棱锥P—ABCD的底面是正方形，侧面PAB，PAD都垂直于底面，另两侧面与底面成45°角，M，N分别为BC，CD的中点，最长的侧棱为15cm.求:(1)棱锥的高；（2）底面中心O到平面PMN的距离.【解前点津】棱锥的概念在本题求解中并无作用，重点应分析和利用好给出的面面关系.【规范解答】如图所示.(1)设高为h,由平面PAB，平面PAD都垂直于底面，得PA⊥底面AC.又∠PBA=45°，∴PA=AB=h,AC=2h.由PA2＋AC2＝PC2及PC＝15，得h=53(cm);(2)∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.又MN∥BD,∴MN⊥平面PAQ，∴平面PAQ⊥平面PMN.作OH⊥PQ于H，则OH之长即为所求.作AG⊥PQ于G.在Rt△PAQ中，AQ＝hAC42343,PQ=.43422hAQPA例1题图∴AG=.17173hPQAQPA再由,31QAQOAGOH得OH=17515171731hAG(cm).【解后归纳】由于在棱锥中，随处可以找到解题必需的三角形，因此平面几何知识和解三角形的知识往往成为正确解题的关键.【例2】如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是菱形，棱长为4a,且∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD，PC=4a,E是PA的中点.（1）求证：平面BDE⊥平面ABCD；（2）求：E点到平面PBC的距离；（3）求：二面角A—EB—D的平面角的大小.【解前点津】（1）证平面BDE⊥平面ABCD，需证平面BDE过平面ABCD的一条垂线OE；（2）欲求E到平面PBC的距离可转化为求直线OE到平面的距离，进一步转化为求点O到平面PBC的距离.（3）利用三垂线定理作出二面角的平面角∠AGO,从而解出∠AGO可求得∠AGO的大小.【规范解答】证明:（1）连结AC、BD交于O，连OE、BE、DE.∵ABCD为菱形，∴OA=OC.又E为PA中点，∴OE∥PC.∵PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.又OE平面BDE,∴平面BDE⊥平面ABCD.(2)解:∵OE∥PC,PC平面PBC,∴OE∥平面PBC.∴E到平面PBC的距离与O到平面PBC的距离相等.∵PC⊥平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD，过O作OF⊥BC于F，则OF⊥平面PBC，即OF是O到平面PBC的距离.∵∠ABC=60°,∴AC=AB=BC=4a,OC=2a,∴OF=OC·sin60°=2a·23=a3.∴点E到平面PBC的距离为a3.（3）解:过O作OG⊥BE于G，连AG，∵OE⊥AC,BD⊥AC,∴AC⊥平面BDE，∴AG⊥BE.例2题图∴∠AGO是二面角A—BE—D的平面角.∵OE=21PC=2a,OB=a423=2a3,∴BE=22OEOB=4a.由三角形面积相等得：OG=aaaaBEOBOE34322,又AO=21AC=2a.Rt△AOG中，tan∠AGO＝.332OGAO∴∠AGO=arctan332.∴二面角A—EB—D的平面角的大小为arctan332.【解后归纳】本题考查线线平行、垂直、线面平行与垂直、面面垂直的判定及性质，点到面的距离、二面角大小的求法，综合运用知识的能力，转化能力.【例3】如图，设三棱锥S—ABC的三个侧棱与底面ABC所成角都是60°,又∠BAC=60°,且SA⊥BC.（1）求证S—ABC为正三棱锥；（2）已知SA＝a,求S—ABC的全面积.【解前点津】(1)正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上射影是底面的中心，两个条件缺一不可.（2）只要求出正三棱锥S—ABC的侧高SD与底面边长，则问题易于解决.【规范解答】(1)证明：作三棱锥S—ABC的高SO，O为垂足.连结AO并延长交BC于D.因为SA⊥BC,所以AD⊥BC,又侧棱与底面所成的角都相等，从而O为△ABC的外心,OD为BC的垂直平分线，所以AB＝AC.又∠BAC＝60°,故△ABC为正三角形，且O为其中心，所以S—ABC为正三棱锥.（2）在Rt△SAO中，由于SA＝a,∠SAO=60°,所以SO=a23,AO=21a,因O为重心，所以AD＝aAO4323.BC=2BD=2ADcot60°=a23,OD=31AD=a41.在Rt△SOD中，SD2＝SO2＋OD2＝22216134123aaa，则aSD413.∴SS—ABC全=.16)393(32341321360sin)23(2122aaaa【解后归纳】求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S正棱锥底＝cosα·S正棱锥侧（α为侧面例3题图与底面所成的二面角），就本题cosα=131,S△ABC=21633a,所以SS—ABC侧=2216393131633aa,∴也可求出全面积.【例4】已知正三棱锥P—ABC底面边长为2,高也是2.(1)求此三棱锥的全面积;(2)过这棱锥底面的一边作垂直于它所对棱的截面,求这个截面的面积.【规范解答】(1)斜高h′=339,∴S全=S侧+S底=).113(32433396212(2)设顶点P在底面上的射影为O,连AO并延长交BC于E,连结PE,∴PE⊥BC,AE⊥BC,∴BC⊥平面PAE,PA⊥BC.在平面PAE中,作ED⊥PA于D,则PA⊥截面BCD.在△PAE中,AE=AB23,AB=2,∴AE=3,在Rt△PAO中,PO=2,AO=332,∴PA=34,∵PA·DE=AE·PO,∴DE=23,∴截面DBC的面积是23.【解后归纳】关于多面体表面积的计算,常用方法是将其表面展开成平面图形,转化为平面几何问题来解决;关于截面积的计算问题,则须根据截面的图形特征选择适当方法求之.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.具有下列性质的三棱锥中，哪一个是正棱锥()A.顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等B.底面是正三角形，且侧面都是等腰三角形C.相邻两条侧棱间的夹角相等D.三条侧棱相等，侧面与底面所成角也相等2.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有()A.4个B.2个C.3个D.1个3.设棱锥的底面面积为8cm2,那么这个棱锥的中截面(过棱锥高的中点且平行于底面的截面)的面积是()A.4cm2B.22cm2C.2cm2D.2cm24.已知三棱锥P—ABC的六条棱长均相等，E、F分别为棱PB、PC上的点，且21EBPF，31FCPF，连结AE、AF、EF，则三棱锥A—EFP的体积与四棱锥A—BCFE的体积之比为()A.1∶10B.1∶11C.1∶12D.1∶135.如图所示，用一个平面去截一个正方体，得到一个三棱锥，在这个三棱锥中，除截面外的三个面的面积分别为S1、S2、S3，则这个三棱锥的体积为()A.3321SSSVB.32321SSSVC.32321SSSVD.6321SSSV6.一个n棱锥的所有侧面与底面所成的二面角为30°，且此棱锥的底面面积为S，则它的侧面积等于()A.S21B.S23C.S332D.2S7.以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，则它的表面积是原三棱锥表面积的()A.31B.41C.91D.1618.两个平行于底面的截面将棱锥的侧面积分成三个相等的部分.则此两截面将棱锥的高分成的三段(自上而下)之比是()A.1∶2∶3B.1∶(2-1)∶(3-1)C.1∶(2-1)∶(3-2)D.1∶(2+1)∶(3+2)9.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D—ABC的体积为()A.63aB.123aC.3123aD.3122a二、思维激活10.正四棱锥S—ABCD，已知侧棱长等于底面边长，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的余弦值等于.11.如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的心．12.三棱锥一条侧棱长16cm,和这条棱相对的棱长是18cm,其余四条棱长都是17cm,则棱锥的体积是cm3.13.三棱锥P—ABC的底面是直角三角形，∠C＝90°，PA⊥底面ABC，若A到PC、PB的距离第5题图比是1∶2，则侧面PAB与侧面PBC所成的角是.14.在正四棱锥内有一内接正方体，这正方体的四个顶点在棱锥的侧棱上，另四个顶点在棱锥底面内，若棱锥底面边长为a，高为h，则内接正方体的棱长为.三、能力提高15.正三棱锥V—ABC的底面边长为a，侧棱与底面所成的角等于θ，过底面一边作此棱锥的截面，当截面与底面所成二面角为何值时，截面面积最小?并求出最小值.16.如图所示，在正三棱锥S—ABC中，D、E、F分别是棱AC、BC、SC上的点，且CD＝2AD，CE＝2BE，CF＝2SF，G是AB的中点.(1)求证:平面SAB∥平面DEF.(2)求证:SG∥平面DEF.(3)当AB＝23，SA＝5时，求二面角F—DE—C的大小.17.三棱锥P—ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA＝90°，PB＝BC＝CA＝4，E为PC的中点，点F在PA上，且3PF＝FA.(1)求证：侧面PAC⊥侧面PBC.(2)求异面直线PA与BE所成角的大小.(3)求三棱锥F—ABE的体积V.18.棱长为1的正方体ABCD—A′B′C′D′的上底面对角线AC上取一点P,过P、A′、B′三点所作的截面与底面A′B′C′D′的夹角为α,过P、B′、C′三点所作截面与底面A′B′C′D′的夹角为β，求当(α+β)最小时点P的位置.19.正三棱锥P—ABC中,AB=a,相邻两个侧面所成的二面角为θ.(1)若BD⊥PC,求BD的长;(2)求这棱锥的侧面积.第16题图第9课棱锥习题解答1.D根据正棱锥的性质选D.2.A四个侧面三角形都可能是直角三角形．如底面ABCD为矩形，VA⊥平面ABCD.3.C中截面的面积应是底面面积的41,即2cm2所以选C.4.BVA—EFP=31×41VP—ABC=12ABCPV∴VA—EFP∶VA—BCFE=1∶11.5.C由一点出发三条垂直的棱设为a、b、c，∴21ab=S1，21bc=S2，21ac=S3，V=3261231321SSSabccab.6.C侧面积为33230cosSS.7.C表面积比为9121322.8.C自上而下设高为h1、h2、h3，∴h12∶(h1+h2)2∶(h1+h1+h3)2=1∶2∶3.∴h1∶h2∶h3=1∶(2-1)∶(3-2).9.DOD=OB=a22，S△BOD=422221222aaaa,∴VD—ABC=12224313132aaaACSBOD.10.33设AC的中点为O，连OE则OE∥SC，∴cos∠OEB=3331232242434222aaaaa.11.内心设S在△ABC上的射影为O，由所成二面角相等可得O到△ABC三边距离相等,故O为内心．12.576如图,取AD的中点E,连结CE,BE,∵AC=CD=17,DE=8,CE2=172-82=225,BE=CE.∴取BC的中点F,连结EF,EF为BC边上的高EF=129152222CFCE.∴S△BCE=108,∵AC=CD=17cm,E为A