时间序列分析预测法

7.3时序分析预测法27.3.1时间序列的概念时间序列：系统中某一变量或指标的数值或统计观测值，按时间顺序排列成一个数值序列，就称为时间序列(TimeSeries)，又称动态数据。年份199019911992199319941995一季度4.776.387.4610.348.4810.39二季度6.168.066.3710.458.1510.48三季度5.049.648.469.549.4312.23四季度5.136.838.898.279.6710.98某市六年来汽车货运量（亿吨公里）37.3.1时间序列的概念系统预测中讨论的时间序列，一般是某随机过程的一个样本。通过对其分析研究，找出动态过程的特性、最佳的数学模型、估计模型参数，并检验利用数学模型进行统计预测的精度，是时间序列分析的内容。年份199019911992199319941995一季度4.776.387.4610.348.4810.39二季度6.168.066.3710.458.1510.48三季度5.049.648.469.549.4312.23四季度5.136.838.898.279.6710.98某市六年来汽车货运量（亿吨公里）4定义：如果对于每一个固定的，X(t1)都是随机变量，那么称X(t)是一个随机过程。或者说，随机过程X(t)是依赖于时间t的一族随机变量。随机过程1tT例：电话问题中，若用X(t)表示在时刻t以前已经接到的呼唤次数，则对一个固定的，X(t1)都是随机变量。X(t)是一个随机过程。1[0,)t随机变量表示随机现象(在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象称为随机现象)各种结果的变量.它是概率论里研究的主要内容.而随机过程是一连串随机事件动态关系的定量描述。它是研究一族(粗略理解就是一组)随机变量的学科.5051015202545678910111213seasonfreight某市六年来汽车货运量年份199019911992199319941995一季度4.776.387.4610.348.4810.39二季度6.168.066.3710.458.1510.48三季度5.049.648.469.549.4312.23四季度5.136.838.898.279.6710.986时间序列特征：趋势性T：总体上持续上升或下降的总变化趋势，其间的变动幅度可能有时不等。季节性S：以一年为周期，四个季节呈某种周期性，各季节出现波峰和波谷的规律类似。周期性C：决定于系统内部因素的周期性变化规律，又分短周期、中周期、长周期等几种。不规则性I：包括突然性和随机性变动两种。7.3.1时间序列的概念任一时间序列可表示为几种变动的不同组合的总结果，且可表示为：加法模型：Y=T+S+C+I乘法模型：Y=T·S·C·I77.3.1时间序列的概念某市六年来汽车货运量时间序列分解——趋势项——周期项——随机项8时间序列分析预测方法线性趋势构成要素与测定方法周期波动季节变动长期趋势剩余法移动平均法指数平滑法不规则波动非线性趋势趋势剔除法按月(季)平均法Gompertz曲线指数曲线二次曲线修正指数曲线Logistic曲线9是根据时序变动的方向和程度进行的外延和类推，用以预测下一时期或以后若干时期可能达到的水平。平滑预测法包括移动平均法和指数平滑法两种，其具体是把时间序列作为随机变量，运用算术平均和加权平均的方法做未来趋势的预测。这样得到的趋势线比实际数据点的连线要平滑一些，故称平滑预测法。趋势外推预测法根据预测对象历史发展的统计资料，拟合成预先指定的某种时间函数，并用它来描述预测目标的发展趋势。时间序列分析预测方法原理：用平均的方法消除或削弱序列中的不规则成分和其他成分，揭示序列基本趋势的方法。作用：修匀、平滑原序列；进行预测。10（1）移动平均法——简单移动平均7.3.2平滑预测法——移动平均法定义：对时间数列的各项数值，按照一定的时距进行逐期移动，计算出一系列序时平均数，形成一个派生的平均数时间数列，以此削弱不规则变动的影响，显示出原数列的长期趋势。1t2t3t4t5t6t7t原数列移动平均3321ttt3432ttt3543ttt3654ttt3765ttt新数列2t3t4t5t6t移动项数（时距）的确定一般应选择奇数项进行移动平均；若原数列呈周期变动，应选择现象的变动周期作为移动的时距长度。11（1）移动平均法——简单移动平均12（1）移动平均法——简单移动平均设时序为x1，x2，……，xn，对其中连续N(n)个数据点进行算术平均，得t时点的移动平均值，记为Mt，有当用移动平均法进行超前一个周期预测时，采用移动平均值作为预测值，则有1(1)tttNtNxxxMxtˆ111ˆˆttNttNttttNNxxxxxxMM7.3.2平滑预测法——移动平均法13[例1]现有某商场1——6月份的销售额资料如下表所示，试用N=5来进行移动平均，并预测7月和8月的销售额。月份123456销售额（万元）3334353738406778403837353436.8536.84038373537.365ˆˆ解：（万元）（万元）xMxM7.3.2平滑预测法——移动平均法1466565754321565383735343335.4403335.485536.5ˆˆxxxxMxxxxxMM（万元）或（万元）（万元）36.375348.368.365ˆ577678xxMMx移动平均法方法简单，但它一般只对发展变化比较平坦，增长趋势不明显，并且与以往远时期的状况联系不多的时序有效。7.3.2平滑预测法——移动平均法15例2：某商店1991年－2002年实现利润如下表所示。试用简单移动平均法，预测下一年的利润。解：分别取N=3和N=4，按预测公式和计算3年和4年移动平均预测值。其结果列于表2中，其预测曲线如图3。3211ttttxxxx43211tttttxxxxx16年份利润3年移动平均预测值4年移动平均预测值预测值相对误差％预测值相对误差％1991120.871992125.581993131.661994130.42126.03673.361995130.38129.220.89127.13252.491996135.54130.823.48129.514.451997144.25132.11338.411328.491998147.82136.72337.51135.14758.571999148.57142.53674.06139.49756.112000148.61146.881.16144.0453.072001149.76148.33330.95147.31251.632002154.56148.983.61148.693.8150.9767150.375某商店1991年－2002年利润及移动平均预测值表单位：万元(130.42-126.0367)/130.42=3.36%171001101201301401501601357911原始值三年移动平均四年移动平均图3某商店1991年－2002年利润及移动平均预测值图18在实用上，一个有效的方法是取几个N值进行试算，比较他们的预测误差，从中选择最优的。简单移动平均法只适合做近期预测，即只能对后续相邻的那一项进行预测。19加权移动平均法在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信息。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就是加权移动平均法的基本思想。20设时间序列为：x1,x2…,xt,…；加权移动平均公式为：t≥N式中：Mtw为t期加权移动平均数；wi为xt-i+1的权数，它体现了相应的xt-i+1在加权平均数中的重要性。利用加权移动平均数来做预测，其预测公式为：即以第t期加权移动平均数作为第t+1期的预测值。例3:对于例2，试用加权移动平均法预测2003年的利润。NNtNttt211121twtMx121解：取w1=3,w2=2,w3=1,按预测公式：计算三年加权移动平均预测值，其结果列于下表中。12323211ttttxxxx例二：某商店1991年－2002年实现利润如下表所示。试用简单移动平均法，预测下一年的利润。22年份利润3个月移动平均预测值相对误差（%）1991120.871992125.581993131.661994130.42127.8351.981995130.38130.0270.271996135.54130.6073.641997144.25132.9677.821998147.82139.0355.941999148.57144.5832.682000148.61147.60.682001149.76148.4650.862002154.56149.1783.482003年预测值151.968表某商店1991年－2002年利润及加权移动平均预测值表单位：万元835.12712387.120158.125266.1313968.151661.14876.149256.15432003x23趋势移动平均法简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。24一次移动的平均数为：在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均就是二次移动平均，其计算公式为它的递推公式为NxxxMNtttt111NMMMMNtttt111112NMMMMNtttt1121225利用趋势移动平均法进行预测，不但可以进行近期预测，而且还可以进行远期预测，但一般情况下，远期预测误差较大。在利用趋势移动平均法进行预测时，时间序列一般要求必须具备较好的线性变化趋势，否则，其预测误差也是较大的。26移动平均法存在两个不足之处。一是存储数据量较大，二是对最近的N期数据等权看待，而对t-N期以前的数据则完全不考虑，这往往不符合实际情况。指数平滑法有效地克服了这两个缺点。它既不需要存储很多历史数据，又考虑了各期数据的重要性，而且使用了全部历史资料。因此它是移动平均法的改进和发展，应用极为广泛。7.3.3平滑预测法——指数平滑法271.用过去时间数列值加权平均数作为预测值2.观察值离预测时间越远，其权数也跟着呈现指数的下降，因而称为指数平滑(P101)3.指数平滑法根据平滑次数的不同，又分为一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。4.一次指数平滑法可用于对时间序列进行修匀，以消除随机波动，找出序列的变化趋势7.3.3平滑预测法——指数平滑法28一次指数平滑法预测模型：也就是以第t期指数平滑值作为t+1期预测值。在进行指数平滑时，加权系数的选择是很重要的。由式可以看出，α的大小规定了在新预测值中新数据和原预测值所占的比重。α值越大，新数据所占的比重就愈大，原预测值所占的比重就愈小，反之亦然。tttxxx1129α值应根据时间序列的具体性质在0-1之间选择。具体如何选择一般可遵循下列原则:（1）如果时间序列波动不大，比较平稳，则α应取小一点，如（0.1-0.3）。以减少修正幅度，使预测模型能包含较长时间序列的信息。（2）如果时间序列具有迅速且明显的变动倾向，则α应取大一点，如（0.6-0.8）。使预测模型灵敏度高一些，以便