集合及其表示方法

1集合及其表示方法知识精要1.集合：我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。集合中的各个对象叫做集合的元素。集合、元素以及关系的表示符号：集合常用大写英文字母A、B、C……来表示，集合中的元素常用小写英文字母a、b、c……来表示。如果a是集合A的元素，记作Aa，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，记作Aa，读作“a不属于A”。2.集合元素的特性（1）确定性：元素与集合的从属关系是明确的（即Aa与Aa，二者必居其一）。元素的属性是明确的（模棱两可是不可以的）。（2）互异性：集合中的元素是互不相同的（即一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象）。（3）无序性：不考虑集合中元素之间的顺序。3.集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合；（2）无限集：含有无限个元素的集合；另外，根据集合元素的类型可以把集合分成数集、点集等。4.空集：空集不含元素。记作5.集合的表示方法（1）列举法：将集合中的元素一一列出（不考虑元素的顺序），注意元素之间用逗号隔开，并且写在大括号内。例如：不等式0112x的正整数解的集合，可以表示成{1，2，3，4，5}。又如：方程组15yxyx的解组成的集合可表示为)}3,2{(。①a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素奎屯王新敞新疆②元素与元素之间用逗号隔开，单元素集合不用逗号。（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素一般形式，再画出一条竖线，在竖线后面写出集合中元素所共同具有的特性。其形式是{x|x满足性质p}。例如：方程062xx的解的集合，可表示为}06|{2xxx；又如：直线x+y=1上的点组成的集合，可以表示为：{1),(yxyx}注：同一个集合，有时既可以用列举法又可以用描述法，那么何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不适合用描述法表示，只能用列举法。如集合},5,23,{2232yxxyxx。（2）当集合中元素个数较少时，多用列举法。（3）当集合中元素个数较多时，都写出来太烦了，可写其中一部分元素，由此提供一定规律可用省略号代表余下的元素。如：从51到100的所有整数组成的集合：2{100,,53,52,51}；所有正奇数组成的集合：{,7,5,3,1}。（4）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。注：1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分，即{锐角三角形}，但不可写成{所有锐角三角形}或{锐角三角形集}，因为集合符号“{}”已包含“所有”的意思；且“{}”就是集合的符号，因而大括号内的文字描述，不应再用“全体”“所有”“全部”或“集”等术语。2）用描述法表示一个集合，必须认真找出集合中元素的公共属性，既要是每一元素所共有，又要不为集合外其它元素具有。例如将1、3、5、7、9所组成的集合表示为：{小于10的自然数}就不对，因为1、3、5、7、9虽然是小于10的自然数，但尚有其他小于10的自然数2、4、6、8等不是集合中的元素。6.常用数集的符号表示：数的集合简称数集。自然数集，记作N，不包括零的自然数组成的集合，记作N整数集，记作Z；正整数集，记作Z；负整数集，记作Z；有理数集，记作Q；正有理数集，记作Q；负有理数集，记作Q；实数集，记作R；正实数集，记作R；负实数集，记作R.精解名题例1.判断下列对象能否组成集合:(1)不等式250x的正整数解；(2)方程012yx的解；(3)数轴上非常靠近原点的点；(4)使|1|x的值很小的x的值。注意：元素的属性是明确的（模棱两可是不可以的）集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件．例2.用或填空：(1)0{0}；(2)0；(3)0N；3(4)-1Z；(5)2Q；(6)0N。注：}0{、与}{区别：它们都表示集合。但}0{只有一个元素0；不含任何元素；}{是以空集作为元素的集合。例3.用适当的方法表示下列集合：(1)关于x的不等式||5x的整数的解集；(2)所有奇数构成的集合；(3)方程0)2)(1(22xxx的解的集合；(4)直角坐标平面上所有第三象限的点；(5)函数y=|x|-3的所有函数值组成的集合。例4.判断元素0，1，（0，1）分别与集合A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x2+1}之间的关系。注意：点集与数集的区别。集合中的元素可以是数、点、图形甚至是集合。例5.已知集合2{2,}Axxx,求x的取值范围.4例6.已知集合222{2,1,},{0,7,5,2},5AaaaBaaaA，求集合B。例7.用列举法表示下列集合：};,612|{)1(NxNxxA};,,72|),{()2(**NyNxyxyxB}.,2||,1|{)3(2ZxxxyyC备选例题例1、用适当的方法表示下列集合（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C例2、已知集合2210,AxaxxxR，aR，若集合A中至多有一个元素，求a5例3、设集合A={(x,y)|x+y=6,NyNx,}，使用列举法表示集合A。例4．关于x的方程)0(02acbxax，当a,b,c分别满足什么条件时解集为空集、含一个集合、含两个集合？例5、已知集合A={01682xkx}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A。巩固练习一、选择题61、下列给出的对象中，能表示集合的是()A、一切很大的数B、无限接近零的数C、聪明的人D、方程22x的实数根2、给出下列命题：1)N中最小的元素是1；2)若Na，则Na；3)若NaNb则a+b的最小值是2其中所有正确命题的个数为（）A、0B、1C、2D、33、由4,2,2aa组成一个集合A，A含有3个元素，则实数a的取值是（）A、1B、-2C、6D、24、下列集合表示法正确的是（）A.{1,2,2}B.{全体实数}C.{有理数}D.不等式052x的解集为{052x}5、设A={a},则下列各式正确的是（）A、A0B、AaC、AaD、a=A6、集合{5|xNx}的另一种表示法是（）A、{0，1，2，3，4}B、{1，2，3，4}C、{0，1，2，3，4，5}D、{1，2，3，4，5}7、由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（）A、{x|-3x11,Qx}B、{x|-3x11}C、{x|-3x11,x=2k,Nk}D、{x|-3x11,x=2k,Zk}8、下列说法正确的是（）Ａ．某个村子里的年青人组成一个集合Ｂ．所有小正数组成的集合Ｃ．｛１，２，３，４，５｝和｛５，４，３，２，１｝表示同一个集合Ｄ．13611,0.5,,,,2244这些数组成的集合有五个元素79、下面有四个命题：（１）集合Ｎ中最小的数是0；（２）０是自然数；（３）｛１，２，３｝是不大于３的自然数组成的集合；（４）,aNBNab则不小于2其中正确的命题的个数是（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个二、填空题10、已知集合A={2，4，xx2}，若A6，则x=________________11、在平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合为_______________12、方程0652xx的解集可表示为_____________________13、方程0)3)(2()1(2xxx的解集中含有_________个元素。14、集合{41|xNx}用列举法表示为_________________