集合复习——章

集合复习1．集合与元素(1)集合中元素的特性：_______、________、_________(2)集合与元素的关系①a属于集合A，用符号语言记作_____.②a不属于集合A，用符号语言记作______.确定性互异性无序性．a∈A基础梳理aA(3)常见集合的符号表示数集自然数集非负整数集正整数集整数集有理数集实数集符号______________________NN*或N＋ZQR(4)集合的表示法：______、_______、Venn图法．列举法描述法2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素____或____真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素_____或______空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集______，____________A⊆BB⊇A∅⊆A3．集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示_____________若全集为U，则集合A的补集为____图形表示意义{x|_____________}{x|______________}∁UA＝{_________________}A∩Bx∈A，或x∈B且x∉AA∪B∁UAx∈A，且x∈Bx|x∈U，设Au,由u中不属于A的所有元素组成的集合称为u的子集A的补集。u补集：ACuA={x︱x∈u,且xA}全集⑶UUUUU⑴UU=⑵U)(AUUU)(AUU研究补集必须是在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，全集常用U来表示．注意：补集可以看成是集合的一种“运算”，它具有以下性质：若全集为U，AU，则UA1．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{x|x2＝x，x∈R}，则A∩B＝()A．{0,2}B．{0,1}C．{0}D．{1}答案：B热身2．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是()答案：B3．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0B．1C．2D．4答案：D4．如果数集{0,1，x＋2}中有3个元素，那么x不能取的值是________．解析：x＋2≠0，x＋2≠1，即x≠－2，x≠－1.即x≠－2，且x≠－1.答案：－2，－15．集合A＝{x|y＝1－x2，x∈N}，则A的真子集个数为________．答案：36.已知非空集合M和N,规定M－N={xx∈M,但xN},那么M－(M－N)=()AM∪NBM∩NCMDNB考点突破集合的基本概念解决集合概念相关问题常用到集合元素的互异性，一可以作为解题的依据和突破口解决问题，二可以检验所求结果是否正确．(2011年浙江杭州调研)设a，b∈R，集合{a，ba，1}＝{a2，a＋b,0}，求a2011＋b2011的值．例1【思路分析】根据a在分母上，知a≠0，从而ba＝0，故b＝0，进而知a2＝1，可求a，b.【解】由已知得a≠0，∴ba＝0，∴b＝0.则在集合{a2，a＋b,0}中，a2＝1.∴a＝±1.又a＝1时，不合题意．∴a＝－1.∴a2011＋b2011＝(－1)2011＝－1.【规律小结】(1)解决此类题目，应利用集合相等的定义，首先分析已知元素与另一个集合中的哪一个元素相等，有几种情况等，然后列方程组，求解．本例中从元素“0”着手分析，问题变得简单．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．集合间的基本关系研究两个集合之间的关系时，应该从分析构成集合的元素入手．因为不同集合之间的关系，可以以元素为桥梁找到它们之间的联系．处理这类问题时，要注意融汇其他知识，充分借助于Venn图或数轴的直观性来发现它们之间的包含关系，往往是解题的突破口．已知集合A＝{x|0ax＋1≤5}，集合B＝{x|－12x≤2}．(1)若A⊆B，求实数a的取值范围；(2)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由．例2【思路分析】在确定集合A时，需对x的系数a进行讨论．利用数轴分析，使问题得到解决．【解】A中不等式的解集应分三种情况讨论：①若a＝0，则A＝R；②若a0，则A＝{x|4a≤x－1a}；③若a0，则A＝{x|－1ax≤4a}．(1)当a＝0时，若A⊆B，此种情况不存在．当a0时，若A⊆B，如图：则4a－12－1a≤2，∴a－8a≤－12，∴a－8.当a0时，若A⊆B，如图：则－1a≥－124a≤2，∴a≥2a≥2.∴a≥2.综上知，当A⊆B时，a－8或a≥2.(2)若A＝B，由(1)知a0.当a0时，由－1a＝－124a＝2，解得a＝2，即a＝2时满足A＝B.综上，若A＝B，a的值为2.【规律方法】已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系式．解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析．在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足的条件，再把所给集合化为最简形式，并合理转化求解，必要时充分利用数轴、Venn图、图象等工具，并运用分类讨论、数形结合等思想方法，会使运算更加直观、简洁．集合的基本运算(1)(2010年高考江西卷)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝()A．{x|－1≤x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1}D．∅(2)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．若A∩B＝{2}，实数a的值为________．【思路分析】(1)求解集合A、B，再求A∩B；(2)由A∩B＝{2}，得2∈B，便可求a.例3【解析】(1)∵A＝{x||x|≤1，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}＝{x|x≥0}，∴A∩B＝{x|0≤x≤1}．(2)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}．∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入集合B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3.当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件．综上，a的值为－1或－3.【答案】(1)C(2)－1或－3【误区警示】(2)中由2∈B求得a＝－1，－3后，不再进行验证，易导致出错．新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆奎屯王新敞新疆例已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，已知(CUA)∩(CUB)＝{4，6，8}、(CUA)∩B＝{1，9}、A∩B＝{2}.求A、B.解：∵(CUA)∩(CUB)＝{4，6，8}∴CU(A∪B)＝{4，6，8}∴A∪B＝{1，2，3，5，7，9}∴B＝[(CUA)∩B]∪（A∩B）＝{1，2，9}∴A＝{2，3，5，7}UBA4，6，81,923,5,7∴[(CUB)∩A]={3,5,7}利用Venn图解题方法技巧1．集合的运算(1)求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴，进而用集合语言表示，增强运用数形结合思想方法的意识．(如例2)方法感悟(2)集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A.2．突破集合问题的关键(1)明确集合的元素的意义，它是什么类型的对象(如数、点、方程、图形等)．(2)弄清集合由哪些元素组成，这就需要我们把抽象的问题具体化、形象化，也就是善于对集合的三种语言(文字、符号、图形)进行相互转化，同时还要善于将多个参数表示的符号描述法{x|P(x)}的集合化到最简形式．(3)要善于运用数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法来解决集合的问题．失误防范1．空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏掉．2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．3．韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．4．要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)＝∅这五个关系式的等价性．1．已知集合U＝{x|0≤x≤6，x∈Z}，A＝{1,3,6}，B＝{1,4,5}，则A∩(∁UB)＝()A．{1}B．{3,6}C．{4,5}D．{1,3,4,5,6}解析：选B.已知U＝{0,1,2,3,4,5,6}，所以∁UB＝{0,2,3,6}，则A∩(∁UB)＝{3,6}，故选B.巩固练习2.如图，I是全集，A、B、C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(∁IA)∩B∩CB．(∁IB)∪A∩CC．A∩B∩(∁IC)D．A∩(∁IB)∩C解析：选D.由图可知阴影部分所表示的集合是A∩(∁IB)∩C，故选D.3．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为()A．{－1}B．{1}C．{－1,1}D．{－1,0,1}解析：选D.当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；当a≠0时，x＝－1a，令－1a＝1或－1a＝－1得a＝－1或a＝1，故选D.