微分方程的幂级数解法

第十一节微分方程的幂级数解法一、一阶微分方程问题二、二阶齐次线性微分方程问题微分方程解法:积分法—只能解一些特殊类型方程幂级数法—本节介绍数值解法—计算数学内容本节内容:第七章一、问题的提出,22yxdxdy例如解不能用初等函数或其积分式表达.寻求近似解法:幂级数解法;数值解法.卡比逐次逼近法;二、特解求法),(yxfdxdy问题.),(00的特解满足求yyyxfdxdyxx.)()()()(),(0000101000mllmyyxxayyaxxaayxf其中202010)()(xxaxxayy.,,,,21为待定的系数其中naaa假设所求特解可展开为的幂级数0xx.0|02的特解满足求xyyxdxdy解，00x,00y,33221nnxaxaxaxay设方程的幂级数展开式带入原将yy,342321432xaxaxaa24433221)(xaxaxaxax,32123121nnxnaxaxaay例1,,201,0,0,21,054321aaaaa.2012152xxy所求解为43122321221)2(2xaaaxaaxax比较恒等式两端x的同次幂的系数,得小结:无初始条件求解1nnnxaCy可设(C是任意常数)如果方程0)()(yxQyxPy中的系数)(xP与)(xQ可在RxR内展为x的幂级数,那么在RxR内原方程必有形如nnnxay0的解.定理三、二阶齐次线性方程幂级数求法作法,0nnnxay设解为的幂级数，展开为将0)(),(),(xxxfxQxP比较恒等式两端x的同次幂的系数,确定y..0的解求方程yyxy,0nnnxay设方程的解为解例2,10nnnxnay则21)1(nnnxanny,0,,yyxyyyy带入将,)1)(2(02nnnxann,00nnnxa10nnnxnaxnnnxann02)1)(2(,0])1()1)(2[(02nnnnxanann,22naann,2,1,0n,313aa,1515aa,!)!12(112kaak,3,2,1k,202aa,804aa,2!02kkkaa原方程的通解0121020!)!12(!2nnnnnnxanxay),(10是任意常数aa例3.42)()2(xyyxxyx求方程的一个特解.解:设特解为代入原方程整理得41200)2()2)(1(2xxanannxaannnn比较系数得:,00a12634aa)4,2(0)2()2)(1(1nnanannnn可任意取值,因是求特解,故取,021aa从而得61,043aa当n4时,111nnana44)2)(1(1ann!)1(1n因此nnxn4!)1(1,!10nnxxne)211(2xxexyx注意到:此题的上述特解即为例4.解:内都可在)1,1(求解勒让德(Legendre)方程展成幂级数,满足定理条件(因其特点不用具体展开它).设方程的解为,0kkkxay代入③:③22)1(kkkxakkkkkxakk2)1(kkkxak120)1(0kkkxann整理后得:0)1)(()1)(2(20kkkkxaknknakk比较系数,得),1,0()1)(2()1)((2kakkknknakk例如:02!2)1(anna13!3)2)(1(anna2443)2)(2(anna0!4)3)(1()2(annnn3554)4)(3(anna1!5)4)(2)(1)(3(annnn于是得勒让德方程的通解:420!4)3)(1()2(!2)1(1xnnnnxnnay31!3)2)(1(xnnxa5!5)4)(2)(1)(3(xnnnn)11(x上式中两个级数都在(－1,1)内收敛,10,aa可以任意取,它们是方程的两个线性无关特解.四、小结微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特征方程法待定系数法非全微分方程非变量可分离幂级数解法降阶作变换作变换积分因子思考题什么情况下采用“幂级数”解法求解微分方程？思考题解答当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时,常用幂级数解法.一、试用幂级数求下列各微分方程的解:1、1xxyy；2、0)(myymxyx.)(为自然数m二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解:1、21,032xyxyy；2、0,,0cos0022ttdtdxaxtxdtxd.练习题练习题答案一、1、323111[2xxCeyx])12(53112nxn；2、mkkxkxCeCy021!.二、1、432329161814121xxxxy；2、842!855!69!42!211(tttax.