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1§4平面向量的坐标A组1.若=(2,4),=(1,3),则=()A.(1,1)B.(-1,-1)C.(3,7)D.(-3,-7)解析:=(1,3)-(2,4)=(-1,-1).答案:B2.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为()A.-2,1B.1,-2C.2,-1D.-1,2解析:∵c=λ1a+λ2b,∴(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3).∴解得λ1=-1,λ2=2.答案:D3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与同方向的单位向量是()A.B.C.D.解析:易得=(4-1,-1-3)=(3,-4),所以与同方向的单位向量为(3,-4)=,故选A.答案:A4.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)解析:设a=k1e1+k2e2,A选项,∵(3,2)=(k2,2k2),∴无解.B选项,∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),∴解之,得故B中的e1,e2可把a表示出来.同理,C,D选项同A选项,无解.答案:B5.已知A,B,C三点在一条直线上,且A(3,-6),B(-5,2),若点C的横坐标为6,则点C的纵坐标为()A.-13B.9C.-9D.13解析:设点C坐标为(6,y),则=(-8,8),=(3,y+6).2∵A,B,C三点共线,∴,∴y=-9.答案:C6.在平行四边形ABCD中,若=(1,3),=(2,5),则=,=.解析:=(1,2),=(0,-1).答案:(1,2)(0,-1)7.已知e1=(1,2),e2=(-2,3),a=(-1,2),以e1,e2为基底将a分解为a1e1+a2e2的形式为.解析:设a=a1e1+a2e2(a1,a2∈R),则(-1,2)=a1(1,2)+a2(-2,3)=(a1-2a2,2a1+3a2),所以解得所以a=e1+e2.答案:a=e1+e28.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a0,b0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则a+的值是.解析:∵A,B,C三点共线,∴共线,∴存在实数λ,使(a-1,1)=λ(-b-1,2),∴解得λ=,a+.答案:9.已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,点C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量的坐标.解:如图,正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos60°,2sin60°),∴C(1,),∴D,∴=(2,0),=(1,),∴=(1-2,-0)=(-1,),.10.导学号03070095(2016吉林通化高二模拟)设A(x,1),B(2x,2),C(1,2x),D(5,3x),当x为何值时,共线且方向相同?此时点A,B,C,D能否在同一直线上?解:设点O为坐标原点,则根据题意有=(2x,2)-(x,1)=(x,1),=(1,2x)-(2x,2)=(1-2x,2x-2),=(5,3x)-(1,2x)=(4,x).由共线,得x2-4=0,即x=±2.又方向相同,∴x=2.此时,=(2,1),=(-3,2),而2×2-1×(-3)=7≠0,∴不共线,∴A,B,C三点不在同一直线上.∴点A,B,C,D不在同一直线上.11.导学号03070096已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),是否能以a,b为平面内所有向量的一组基底?若能,试将向量c用这一组基底表示出来;若不能,请说明理由.3解:若a,b共线,则存在唯一的实数λ,使得b=λa成立,由向量的坐标运算得a,b两个向量不共线,故一定能作为一组基底.设c=λa+μb,即(7,-4)=(3λ,-2λ)+(-2μ,μ),所以解方程组得所以c=a-2b.B组1.已知向量集合M={a|a=(1,2)+λ1(3,4),λ1∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ2(4,5),λ2∈R},则M∩N等于()A.{(1,1)}B.{(1,1),(-2,-2)}C.{(-2,-2)}D.⌀解析:令(1,2)+λ1(3,4)=(-2,-2)+λ2(4,5),即(1+3λ1,2+4λ1)=(-2+4λ2,-2+5λ2).则解得故M与N只有一个公共元素(-2,-2).答案:C2.导学号03070097设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“�”为m�n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p�q=(-4,-3),则q等于()A.(-2,1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(-2,-1)解析:设q=(x,y),由题设中运算法则得,p�q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3),即解得故q=(-2,1).答案:A3.已知向量a=(1,3),b=(m,2m-3),平面上任意向量c都可以唯一地表示为c=λa+μb(λ,μ∈R),则实数m的取值范围是()A.(-∞,0)∪(0,+∞)B.(-∞,3)C.(-∞,-3)∪(-3,+∞)D.[-3,3)解析:因为平面上任意向量c都可以用a,b唯一表示,所以a,b是平面向量的一组基底,即a,b为不共线的非零向量,则3m≠2m-3,即m≠-3,故选C.答案:C4.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC延长至E,使||=|,则点E的坐标为.4解析:∵,∴A为BC中点,∴点C的坐标为(3,-6).又||=|,且E在DC的延长线上,∴=-.设E(x,y),则(x-3,y+6)=-(4-x,-3-y).于是解得故点E坐标是.答案:5.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若+λ(λ∈R),试求当点P在第三象限时λ的取值范围.解:由题意得=(3+5λ,1+7λ).设点P(x,y),则=(x-2,y-3).于是(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),所以即又点P在第三象限,所以解得λ-1.所以λ的取值范围为(-∞,-1).6.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.解法一:设=t=t(4,4)=(4t,4t),则=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),=(2,6)-(4,0)=(-2,6).由共线的条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0,解得t=,∴=(4t,4t)=(3,3),∴点P的坐标为(3,3).解法二:设P(x,y),则=(x,y),∵共线,=(4,4),∴4x-4y=0.①又=(x-2,y-6),=(2,-6),且向量共线,∴-6(x-2)+2(6-y)=0.②解由①②组成的方程组,得x=3,y=3,∴点P的坐标为(3,3).7.导学号03070098已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)证明:对于任意向量a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;5(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;(3)求使f(c)=(3,5)成立的向量c.解:(1)证明:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).则f(mx1+nx2,my1+ny2)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),又mf(a)=(my1,2my1-mx1),nf(b)=(ny2,2ny2-nx2),所以mf(a)+nf(b)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b).(2)f(a)=(1,1),f(b)=(0,-1).(3)设向量c=(x3,y3),则解得所以c=(1,3).