高中数学选修2-1综合测试题

第1页共12页COBAMN三台一中高2014级第四学期第一学月月考试题数学（理工类）命题：姚金和一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答卷相应的位置；每小题5分，共50分.1.如图，空间四边形OABC中，,,.OAaOBbOCc点M在OA上，且2,OMMA点N为BC的中点，则MN（）A．121232abcB．211322abcC．111222abcD．221332abc2.设,pq是两个命题，则命题“pq”为真，“pq”为假的充要条件是（）A.,pq中有且只有一个为假B.,pq中至少有一个为假C.,pq中至少有一个为真D.p为真，q为假3.设定点12(0,3),(0,3),FF动点P满足条件129(0),PFPFaaa则点P的轨迹是（）A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段4.设0,aaR，则抛物线24yax的焦点坐标为（）A.(,0)aB.(0,)aC.1(0,)16aD.随a的符号而定5.已知点12(-40),(40),FF，，曲线上的动点P到12,FF的距离之差为6,则该曲线的方程为（）A.221(3)97xyxB.22197xyC.221(0)97yxyD.22197yx6.已知双曲线221xky的一个焦点是(5,0),则其渐近线方程为（）A.14yxB.4yxC.12yxD.2yx第2页共12页7.设等腰直角三角形AOB内接于抛物线22(0)ypxp，O为抛物线的顶点，OAOB，则△AOB的面积是（）A.28pB.24pC.22pD.2p8.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线xy162的准线交于,AB两点,43AB;则C的实轴长为（）A．2B．22C．D．9.设12FF是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点,P为直线32ax上一点,21FPF是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为（）A．12B．23C．D．10.在菱形ABCD中，2,60ABBCD，现将其沿对角线BD折成直二面角ABDC，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A.155B.105C.34D.14二、填空题：请把答案填在答卷相应横线上;每小题5分，共25分．11.若椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，且10,4acac，则椭圆的标准方程为12.在60的二面角的棱上有,AB两点，直线,ACBD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知4,6,8ABACBD，则CD13.已知直线1ykx与双曲线224xy有且只有一个交点，则k的取值为14.线段AB在平面内，线段AC，线段BDAB，且7,24,25ABACBDCD，则线段BD与平面所成的角的大小为15.已知直线与抛物线22(0)ypxp交于,AB两点，且,OAOBODAB交AB于点D，点D的坐标为(2,1)，则p第3页共12页三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤;共75分．16.（12分）如图：在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，点E是PC的中点，作EFPB交PB于点.F（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求证：PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小.17.（12分）抛物线的定点在原点，对称轴为y轴，它与圆229xy相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程及焦点坐标与准线方程.18.（12分）已知命题2:[1,3],0.pxxa命题0:,qxR使得200(1)10.xax，若“pq”为真，“pq”为假，求实数a的取值范围.FEDBCAP第4页共12页19.（12分）已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且,ABBCBD120CBADBC，求：（1）直线AD与平面DBC所成角的大小；（2）直线AD与直线BC所成角的大小；（3）二面角ABDC的余弦值.20.（13分）如图：四边形PCBM是直角梯形，90,PCBPM∥,1,2BCPMBC，又1,AC120,,ACBABPC直线AM与直线PC所成角的大小为60.（1）求证：平面PAC平面ABC；（2）求二面角MACB的余弦值；（3）求三棱锥MACP的体积.21.（14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为63,短轴的一个端点到右焦点的距离为3.（1）求椭圆C的方程;（2）设直线l与椭圆C交于,AB两点,坐标原点O到直线l的距离为3,2求△ABO面积的最大值.DCABABCMP第5页共12页三台一中高2014级第四学期第一学月月考试题数学（理科）答卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答卷相应的位置（每小题5分，共50分）题号12345678910选项二、填空题：请把答案填在答卷相应横线上（每小题5分，共25分）．11.12.13.14.15.三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共75分)．班级：姓名：考号：……………………………………密…………………………………封…………………………………线………………………………………16.（12分）FEDBCAP第6页共12页17.（12分）18.（12分）第7页共12页19.（12分）DCAB20.（13分）ABCMP第8页共12页21.（14分）第9页共12页三台一中高2014级第四学期第一学月月考试题数学（理科）参考答案一、选择题题号12345678910选项BADCADBCCD出处教材117.1P点金训练13.2P点金训练27.3P点金训练46.3PA点金训练37.3PA点金训练42.5PA点金训练54.7P点金训练47.5PB点金训练32.5P点金训练82.3PB二、填空题：11.(教材49.2(3)P）22221,149404940xyyx12.（教材107.2P）21713.（教材80.5P改编）1或5214.（教材113.10P）3015.（教材81.3P）54三、解答题：16.（12分，教材109.4P例）解法一：（1）连接,ACBD交于点G，连接GE.∵E、G分别是PC、AC的中点，∴GE∥PA，∵GE平面EDB，PAEDB，∴PA∥平面EDB；（2）∵PD底面ABCD，∴PDBC.∵,CDBCPDCDD,∴BC平面PDC.∵,DEPC∴DEPB（三垂线定理）.∵,EFPBEFDEE,∴PB平面EFD；（3）由（2）可知PB平面EFD,则PBDF,∵EFPB,∴EFD就是二面角CPBD的平面角.设1PD,则1,2,2CDBDPC,∴2,2DE在RTPDB中,3PB,∴63PDDBDFPB,∵,DEPCDEPB,PCPBP,∴DE平面PBC,即,DEEF∴在RTDEF中,32DEsinEFDDF,∴60DFE即二面角CPBD的大小为60.解法二:（1）（2）参考教材（3）∵DE平面PBC,AC平面PBD∴DE、AC是平面PBC的法向量;∵11(0,,),22DE(1,1,0)AC∴12DEAC，∵2,22DEAC，∴1cos,2DEACDEACDEAC，∴,60DEAC故二面角CPBD的大小为60.17.（12分，点金训练54.12P）解：由题意，设抛物线的方程为22(0)xaya.设公共弦MN交y轴于点A，则5MAAN.∵3,ON∴223(5)2,OA∴(5,2).N∵点GFEDBCAP第10页共12页N在抛物线上，∴52(2),a即522a.故抛物线的方程为25.2xy抛物线252xy的焦点坐标为5(0,)8，准线方程为5;8y抛物线252xy的焦点坐标为5(0,)8，准线方程为5;8y18.（12分，点金训练17.8P）解：∵2[1,3],0xxa恒成立，即2ax恒成立，∴1.a∴:1,pa∴:1.pa又0,xR使得200(1)10xax，∴2(1)40,a∴3a或1.a∴:q3a或1.a:13.qa若“pq”为真，“pq”为假，∴p真q假或p假q真.当p真q假时，{1}{13}{11};aaaaaa当p假q真时，{1}{13}{3}.aaaaaaa或综上所述，a的取值范围为{113}.aaa或19.（12分，教材112.6P）解法一：过点A作AOBC于点O，连接DO，过点O作OEBD于E，连接AE.∵△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，平面ABC平面DBCBC，∴AO平面DBC.∴ADO就是直线AD与平面DBC所成角.∵120CBADBA，∴60ABODBO，∵,ABBCBD∴ABODBO，∴AOBO，即AOD是等腰直角三角形，故45ADO，∴直线AD与平面DBC所成角的大小为45.（2）∵ABODBO，∴90AOBDOB，∴,BCAOBCDO，∵AODOO，∴BC平面AOD，∵AD平面AOD，∴BCAD，故直线AD与直线BC所成角的大小为90.（3）∵AO平面DBC，OEBD，∴AEBD，∴AEO就是二面角ABDO的平面角.设ABa，则31,,22AOaOBa∴3sin60,4OEOBa∴154AE，∴5cos5OEAEOAE，即二面角ABDO的余弦值为5.5∵二面角ABDC与二面角ABDO的大小是互补的，故二面角ABDC的余弦值为5.5解法二：设1AB，过点A作AOBC于点O，连接DO.以O为原点，,,ODOCOA的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的坐标系，得以下坐标：3(0,0,0),(,0,0)2OD，133(0,,0),(0,,0),(0,0,)222BCA.3333(,0,0)(,0,),2224DODA18,4DODA∴2cos,,2DODADODADODA故直线AD与平面DBC所成角的大小为45.（2）∵33(0,1,0)(,0,)0,22BCDA∴直线AD与直线BC所成角的大小为90.OEDCABOyzDCABx第11页共12页（3）设平面ABD的法向量为(,,1)nxy，则13(,,1)(0,,)022nABxy，33(,,1)(,0,)022nADxy，解得1,3.xy∴(1,3,1)n，显然(0,0,1)m是平面BCD的法向量，∵51,cos,,5nmnm∴二面角ABDC的余弦值为5.520.（13分，点金训练81.5P例）解法一：（1）∵,,PCABPCBCABBCB∴PCABC平面，又∵PCPAC平面∴PACABC平面平面（2）取BC的中点N，则1CN，连结,ANMN，∵PM∥CN且PMCN∴MN∥PC且MNPC，从而MNABC平面作NHAC，交AC的延长线于H，连结MH，则由三垂线定理知，ACNH，从而MHN为二面角MACB的平面角直线AM与直线PC所成的角为060∴060AMN在ACN中，由余弦定理得2202cos1203ANACCNACCN在AMN中，3cot313MNANAMN在CNH中，33sin122NHCNNCH在MNH中，227.2HMHNMN∴3212cos.772HNMHNHM故二面角MACB的余弦值大小为217.（3）由（Ⅱ）知，PCMN为正方形∴0113sin1203212PMACAPCMAMNCMACNVVVVACCNMN