平行关系习题

1．四棱锥P－ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，CD⊥AD，F，E分别是PA，AD的中点，求证：平面PCD∥平面FEB.证明：连接BD，在△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，E为AD的中点，∴BE⊥AD.平行判定习题又∵CD⊥AD，∴BE∥CD.∴CD∥平面FEB.在△APD中，F，E分别是PA，AD的中点.∴EF∥PD∴PD∥平面FEB.又∵CD∩PD＝D.∴平面PCD∥平面FEB.6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边及其内部运动，试探求点M在怎样的位置时，有MN∥平面B1BDD1.解：平面BDD1B1是正方体ABCD－A1B1C1D1的对角面，探究过点N且与平面BDD1B1平行的直线，可取B1C1的中点N1，连接N1N，则NN1∥平面BDD1B1；连接NH，则NH∥平面BDD1B1.∵NH∩NN1＝N，连接FH、FN1，∴平面NN1FH∥平面BDD1B1.当MN平面NN1FH时，MN与面BDD1B1没有公共点．∴MN∥平面B1BDD1.因为平面NN1FH∩平面EFGH＝FH，所以当点M在线段HF上运动时，总有MN∥平面BDD1B1.1．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E在AB′上，点F在BD上，且B′E＝BF.求证：EF∥平面BB′C′C.平行性质习题证明：作FH∥AD交AB于H，连接HE.∵AD∥BC，∴FH∥BC，又∵FH平面BB′C′C，BC平面BB′C′C.∴FH∥平面BB′C′C.由FH∥AD，可得又BF＝B′E，BD＝AB′，BFBD＝BHBA，∴B′EB′A＝BHBA，∴EH∥B′B，又∵EH平面BB′C′C，B′B平面BB′C′C.∴EH∥平面BB′C′C，又EH∩FH＝H.∴平面FHE∥平面BB′C′C，又∵EF平面FHE.∴EF∥平面BB′C′C.2.如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．[精解详析]：(1)证明：因为BC∥AD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为BC平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.可知四边形AMNE为平行四边形．所以MN∥AE，MN平面APD，AE平面APD所以MN∥平面APD.3．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.证明：法一：如图所示，作PM∥AB，交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD.又∵AP＝DQ，∴PE＝QB.又∵PM∥AB∥QN，∴PMAB＝PEAE，QNDC＝BQBD，∴PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形．∴PQ∥MN.又MN平面BCE，PQ平面BCE，∴PQ∥平面BCE.//=法二：如图，连接AQ，并延长交BC于K，连接EK.∵AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴APPE＝DQBQ.①又∵AD∥BK，∴DQBQ＝AQQK.②由①②得APPE＝AQQK，∴PQ∥EK.又PQ平面BEC，EK平面BEC，∴PQ∥平面BEC.法三：如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE，交AB于点M，连接QM.∵PM∥BE，即PM∥平面EBC，∴APPE＝AMMB.①又∵AP＝DQ，PE＝BQ，∴APPE＝DQBQ.②由①②得AMMB＝DQQB，∴MQ∥AD，∴MQ∥BC，∴MQ∥平面EBC.又∵PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面EBC，又∵PQ平面PMQ，∴PQ∥平面EBC.