折纸与数学

摺紙與數學李國偉中央研究院數學研究所浙江師範大學術裡與信息工程學院2010年11月3日造紙的簡史‧蔡倫於105年發明紙。‧造紙術在3世紀初傳入越南；7世紀初傳入朝鲜、日本、印度。‧751年，唐朝在與大食的怛羅斯戰役中戰敗，被俘的唐軍士兵中有造紙的工匠。當年撒馬爾罕就出現了中亞第一個造紙作坊。‧794年，巴格達出現造紙作坊，造紙術由此傳到阿拉伯地區。‧造紙術12世紀初傳入西班牙，13世紀傳入義大利，14世紀傳入法國、德國。‧1690年美國賓州出現第一個造紙作坊。摺紙的歷史‧日本神道祭祀時用摺紙，但僧侶對摺法秘而不宣。‧1797《秘傳千羽鶴折形》是流傳於世最古的娛樂性摺紙書。‧19世紀時，歐洲各地有不同於日本類型的摺紙。‧20世紀30年代日本吉澤章（AkiraYoshizawa,1911-2005）大幅提昇了摺紙的藝術層次。摺紙的歷史‧1965年英國作家兼魔術師RobertHarbin（NedWilliams,1909-1978）收藏了大量的傳統摺紙作品，再加上個人的鑽研開發，出版了《PaperMagic》一書，首次將摺紙以日語Origami（折り紙）一詞介紹給西方。‧最近25年摺紙更與數學及計算機科學聯繫起來，使摺紙藝術達到新高潮。秘傳千羽鶴折形（1797）秘傳千羽鶴折形（1797）秘傳千羽鶴折形（1797）秘傳千羽鶴折形（1797）秘傳千羽鶴折形（1797）吉澤章吉澤章的作品吉澤章摺紙符號已為國際間所通用吉澤章摺紙符號已為國際間所通用吉澤章摺紙符號已為國際間所通用幾位當代摺紙名家美國RobertLang（1961～）美國MichaelG.LaFosse（～）日本神谷哲史（SatoshiKamiya,1981～）法國EricJoisel（1956～2010）RobertLangRobertLangSaltCreekTigerBeetle,opus484RobertLangKNLDragon,opus132RobertLangFiddlerCrab,opus446RobertLangStarsandStripes,opus500MichaelLaFosseMichaelLaFosseBigBrownBatMichaelLaFosseGreySquirrelLaFosseandKamiyamakingpaper神谷哲史（SatoshiKamiya）神谷哲史（SatoshiKamiya）神谷哲史（SatoshiKamiya）神谷哲史（SatoshiKamiya）神谷哲史（SatoshiKamiya）神谷哲史（SatoshiKamiya）神谷哲史（SatoshiKamiya）EricJoiselEricJoiselBlue-faceEricJoiselGroupfromLordoftheRingsEricJoiselSireneEricJoiselSaxEricJoiselWomanindress2EricJoiselPangolin摺紙在科學研究與工業生產上的應用Eyeglass太空望遠鏡日本太空紙飛機汽車安全氣囊EyeglassLawrenceLivermore實驗室RodHydeEyeglassEyeglassEyeglass5公尺直徑16個654×790mm矩形32個327×790mm直角三角形24個654×790mm等腰三角形分為8塊面版，每塊面版有3個等腰三角形、4個直角三角形、2個矩形每塊面版覆蓋45度19105條圓形細槽紋日本紙飛機協會會長戸田拓夫（TakuoToda）與摺紙太空梭2009年12月27日戶田拓夫嘗試打破自己紙飛機遨翔27.9秒的世界記錄東京大學鈴木在超高音速風洞測試縮小的摺紙太空梭2008年1月長約20公分的摺紙太空梭通過7馬赫風速與攝氏200度高溫的考驗。汽車安全氣囊瑞典Chalmers理工大學Cromvik用多面體模擬氣囊以及計算機顯示的摺紋計算機模擬折疊過程，反覆計算40、60、200次的快照摺紙的局部性質前川淳（Maekawa）-Justin定理川崎敏和（Kawasaki）-Justin定理一些基本概念‧摺紋樣式（creasepattern）‧山摺（mountaincrease）‧谷摺（valleycrease）‧山谷標示（MVassignment）∧∨∨∨∨∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∨∨∧∧∧∧∨∨∧一些基本概念‧平面摺紙（flat-folding）：可以把摺紙夾到一本書裡而不會產生新的摺紋。非平面的摺紙想研究的問題問題1、給了一張沒有山谷標示的摺紋樣式，能不能判定依照摺紋可以摺出平面摺紙？定義：根據給定的山谷標示，如果能摺出平面摺紙，則該標示稱為有效的標示，否則稱為無效的標示。問題2、給了一張有山谷標示的摺紋樣式，能不能判定它是有效的標示？單點摺紙Maekawa-Justin定理在標有山摺與谷摺的狀況下，令單點摺紋中M是山摺數目，V是谷摺數目，如果該摺紋樣式是有效的，則M−V=±2。Maekawa-Justin定理‧剪口是一個多邊形，每個摺角的徑度是0（山摺）或2π（谷摺）。‧令n為摺線數，即多邊形邊數。‧內角總和=(n−2)π，而n=M+V。‧0M+2πV=(M+V−2)π⇒M−V=2。‧上面是頂點朝上的情形，如果頂點朝下則有M−V=−2。Maekawa-Justin定理推論1：摺紋總數n為偶數。M−V=±2且M+V=n，故n=2M±2。推論2：把摺紋樣式當作一個平面圖看待，則可以用兩種顏色塗該平面圖的各面，使得相鄰面顏色相異。平面圖握手定理推論：只有偶數個i使得d(vi)為奇數。G藍點藍線G′紅點紅線平面圖與對偶圖二色定理給定平面圖G，下列條件互為等價：1、G是二部圖。（G的頂點可分割成兩個不相交集合，使得同一集合裡的頂點彼此沒有邊相連。充要條件是該圖沒有長度為奇數的回路。）2、G的每一面均有偶數條邊。3、G的對偶圖G′是歐拉圖（Euleriangraph）。（可以一筆畫G′的邊集合，並且回到出發點，使得每條邊畫過且僅畫過一次。充要條件是該圖為連通圖，且每個頂點度數為偶數。）推論2的證明‧把把方紙上的摺紋樣式看成是平面圖。‧在方紙之外再加一點，方紙邊緣度數為奇數的點都與此新點連一線，但仍要保持是平面圖。‧由握手定理可知：每個圖裡度數為奇數的點共有偶數個。再由推理1可知，連完後的圖裡，每個點的度數均為偶數。‧把二色定理用到此圖的對偶圖。Kawasaki-Justin定理在單點摺紙中，令結點v的度數為2n，又令α1,...,α2n是摺紋間連續的夾角。則v是平面摺紙的交點當且僅當α1−α2+α3−···−α2n=0。推論：α1+α3+···+α2n−1=α2+α4+···+α2n=π。Kawasaki-Justin定理必要性：充分性：令l1,...,l2n是一組由單點發出的線段，其間連續夾角為α1,...,α2n。設定l1為谷摺，l2與l2n為山摺，l3與l2n−1為谷摺，依此類推。Kawasaki-Justin定理充分性：手風琴摺不能平面摺疊的摺紋樣式局部每一點都滿足Kawasaki-Justin條件，整體卻不能平面摺疊。單點平面摺疊的另一必要條件令C={l1,...,l2n}是單位圓D裡一組連續的半徑線，如果存在函數f→{±1}使得(C,f)構成一個平面摺紙，我們就說C生成一個平面摺紙。（±1代表摺疊角的徑度為π或−π）必要條件：令(C,f)是一個平面單點摺紙，若αiαi−1且αiαi+1，則f(li)=−f(li+1)。摺紙線圖給定一組摺紋C（不一定保證產生平面摺紙），定義摺紙線圖GC如下：1、C裡的每一條摺紋當作GC裡的一個點。2、兩條摺紋l1與l2在GC裡有邊相連的充要條件如下：（i）l1與l2在C裡相鄰，且（ii）若C生成平面摺紙(C,f)，則f(li)=−f(li+1)必須為真。不能平面摺疊的摺紋樣式左圖的摺紙線圖可平面摺疊性看似合理得猜測：令C是正方形裡的一組摺紋（有可能是多個交點），C能生成平面摺紙的充要條件如下：1、在每一個交點處滿足Kawasaki-Justin條件，並且2、可以用兩種顏色塗C的摺紙線圖的結點，使得相鄰結點顏色相異。但是充分性不對！右圖是一個反例（摺紙線圖沒有邊）計算複雜度的問題給定一個摺紋樣式，如果能有一組山谷標示，使得在每個交點的局部區域都是可平面摺疊的，則稱該摺紋樣式為局部可摺的。（Bern,Hayes,1996）存有線性時間的算法來檢驗局部可摺性。但是即使給了一個可以有平面摺疊的摺紋樣式，如何判定哪個面該在哪個面之上的覆蓋順序問題卻是NP困難的。摺紙操作的公設化Huzita摺紙公設Huzita-Hatori摺紙公設摺紙作圖vs直尺與圓規作圖Huzita摺紙公設公設1：給定兩點p1與p2，存在唯一摺線通過此兩點。Huzita摺紙公設公設2：給定兩點p1與p2，存在唯一的摺線把p1摺到p2上。Huzita摺紙公設公設3：給定兩線l1與l2，存在唯一的摺線把l1摺到l2上。Huzita摺紙公設公設4：給定點p1與線l1，存在唯一的摺線垂直於l1並通過p1。Huzita摺紙公設公設5：給定兩點p1與p2以及線l1，存在摺線把p1摺到l1上並通過p2。Huzita摺紙公設公設6：給定兩點p1與p2以及兩線l1與l2，存在摺線把p1摺到l1上並把p2摺到l2上。Huzita-Hatori摺紙公設公設7：給定點p與兩線l1與l2，存在垂直於l2的摺線且把p摺到l1上。Huzita-Hatori摺紙公設公設1～公設6：日裔義大利人HumiakiHuzita（藤田文章）1992公設7：日本人KoshiroHatori（羽鳥公士郎）美國人RobertLang（證明此7條公設構成完備系統）Hatori簡化後的摺紙公設摺紙作圖是由平面上一些直線出發，經過有限次下列兩種操作所得：1、對於給定的線找出交點。2、給定兩點p1與p2以及兩線l1與l2，存在摺線把p1摺到l1上並把p2摺到l2上。（當點p落於線l上時，此新摺線垂直於l或通過p）。歐幾里得尺規作圖1、作圖只能使用圓規（畫圓弧用）和沒有刻度的直尺（畫直線段用）。2、作圖須在有限次的步驟內完成。（不接受無限次或無限延伸的想法。）古希臘三大作圖難題1、三等分任意角2、化圓為方3、倍立方直尺與圓規作圖直尺與圓規作圖是由平面上一些點出發，經過有限次下列三種操作所得：1、給定兩點p1與p2，畫一線通過p1與p2。2、給定點o與線段p1p2，畫一圓其圓心為o而半徑為線段p1p2的長。3、給定一些線與圓，找出各個交點。摺紙作圖vs直尺與圓規作圖摺紙作圖公設的前6條，等價於直尺與圓規作圖。從代數的眼光來看，就是僅足以解二次方程。摺紙作圖公設的第7條，相當於可解三次方程。所以用摺紙能作出直尺與圓規無法作出的圖形。譬如：三等分一角。三等分角問題1970年代阿部恆（HisashiAbe）三等分銳角摺法。三等分角問題1984年Justin三等分鈍角摺法。倍立方問題1986年PeterMesser的解法摺紙與幾何造型OrigamiTessellationsOrigamiTessellationsEricGjerdeOrigamiTessellations:Awe-InspiringGeometricDesignsEricGjerdeDavidHuffman（1925-1999）的曲線摺紙DavidHuffman（1925-1999）的曲線摺紙DavidHuffman（1925-1999）的曲線摺紙DavidHuffman（1925-1999）的曲線摺紙DavidHuffman（1925-1999）的曲線摺紙ErikDemaineandMartinDemaineCurvedOrigamiSculptureErikDemaineandMartinDemaineCurvedOrigamiSculptureErikDemaineandMartinDemaineCurvedOrigamiSculptureErikDemaineJosephO'RourkeErikD.DemaineandJosephO'RourkeGeometricFol