第五章-定积分及其应用

第五章定积分及其应用定积分是积分学中最重要的概念之一，同导数概念一样，也是在解决一系列实际问题的过程中逐渐形成的。用定积分的方法能解决大量的科学技术及经济管理中的计算问题。本章将学习定积分的概念、性质、计算及其在几何、物理等方面的应用。内容提要第一节定积分的概念第二节微积分基本公式第三节定积分的换元法第四节定积分的分部积分法第五节无穷区间上的广义积分第六节定积分的应用举例第一节定积分的概念重点：定积分的概念和性质难点：定积分概念的理解abxyo?A曲边梯形：由连续曲线实例1（求曲边梯形的面积）)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.)(xfy一、两个实例在初等数学中，以矩形面积为基础，解决了较复杂的直边图形的面积问题.现在的曲边梯形有一条边是曲线，所以其面积就不能按照初等数学的方法来计算.困难就在于曲边梯形底边（区间）上的高是变化的，而且这种变化规律不是线性的.但由于曲线是连续的，所以当在上的变化很小时，相应的高的变化也很小.由于这个想法，可以用一组平行于轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，只要分割的充分细，每个小曲边梯形就很窄，则其高的变化就很小，abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，,],[1210bxxxxxabann个分点，内插入若干在区间abxyoiix1x1ix1nx;],[],[11iiiiixxxxxnba长度为，个小区间分成把区间，上任取一点在每个小区间iiixx],[1iiixfA)(为高的小矩形面积为为底，以)(],[1iiifxxiniixfA)(1曲边梯形面积的近似值为iniixfA)(lim10时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(},,max{,21nxxx曲边梯形面积为设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程.•实例二、求变速直线运动的路程•思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。（1）分割212101TtttttTnn1iiitttiiitvs)(部分路程值某时刻的速度（2）求和iinitvs)(1（3）取极限},,,max{21ntttiniitvs)(lim10路程的精确值设函数)(xf在],[ba上有界，记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），作乘积iixf)(),2,1(i并作和iinixfS)(1，二、定积分的定义定义怎样的分法，baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，在区间],[ba上的定积分，记为积分上限积分下限积分和注意：（1）定积分值仅与被积函数及积分区间有关，badxxf)(badttf)(baduuf)(（2）定义中区间的分法和i的取法是任意的.（3）当函数)(xf在区间],[ba上的定积分存在时，而与积分变量的字母无关.称)(xf在区间],[ba上可积.当函数)(xf在区间],[ba上连续时，定理1定理2设函数)(xf在区间],[ba上有界，称)(xf在区间],[ba上可积.且最多只有有限个间段点，则)(xf在三、存在定理区间],[ba上可积.,()0,abfxbaAdxxf)(,()0,abfxbaAdxxf)(1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba四、定积分的几何意义12340几何意义：积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．所围的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是由xxbxaxxfx,)(ab例1、用定积分表示下列图中阴影部分的面积解：根据定积分的几何意义得（ａ）baabccdx（ｂ）dxex11（ｃ）2110dxx（ｄ）dxxdxx20sinsin例２画出下列定积分所表示的几何意义，并利用几何意义计算其值.（１）dxx11；（２）dxx11；（３）dxx12112；（４）dxx11.解：根据定积分的几何意义，解题如下：（1）02111AAdxx，（2）121212111AAdxx（3）492132312121dxx，（4）21112111dxx思考：当被积函数是奇函数或偶函数时，积分(0)aafxdxa有什么规律？对定积分的补充规定:（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．五定积分的性质证badxxgxf)]()([iiinixgf)]()([lim10iinixf)(lim10iinixg)(lim10badxxf)(.)(badxxgbadxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.性质1babadxxfkdxxkf)()((k为常数).证badxxkf)(iinixkf)(lim10iinixfk)(lim10iinixfk)(lim10.)(badxxfk性质2badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.例若,cbacadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）则假设bca性质3则0)(dxxfba.)(ba证,0)(xf,0)(if),,2,1(ni,0ix,0)(1iinixf},,,max{21nxxxiinixf)(lim10.0)(badxxf性质4如果在区间],[ba上0)(xf，如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，证Mdxxfabmba)(1)()()(abMdxxfabmba由闭区间上连续函数的介值定理知则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使dxxfba)())((abf.)(ba性质5（定积分中值定理）积分中值公式在区间],[ba上至少存在一个点，使,)(1)(badxxfabfdxxfba)())((abf.)(ba在区间],[ba上至少存在一个点，即积分中值公式的几何解释：xyoab)(f使得以区间],[ba为以曲线)(xfy底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(f的一个矩形的面积。第二节微积分基本公式•重点：牛顿—莱布尼兹公式•难点：积分上限的函数变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为21)(TTdttv设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程.另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs).()()(1221TsTsdttvTT).()(tvts其中一、问题的提出设函数)(xf在区间],[ba上连续，并且设x为],[ba上的一点，xadxxf)(考察定积分xadttf)(记.)()(xadttfx积分上限函数如果上限x在区间],[ba上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在],[ba上定义了一个函数，二、积分上限函数及其导数abxyo定理１如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(在],[ba上具有导数，且它的导数是)()()(xfdttfdxdxxa)(bxa积分上限函数的性质xx证dttfxxxxa)()()()(xxxdttfdttfxaxxa)()()(xxdttfdttfdttfxaxxxxa)()()(,)(xxxdttf由积分中值定理得xf)(],,[xxxxx,0),(fx)(limlim00fxxx).()(xfxabxyoxx)(xx它说明，x是xf的一个原函数，从而有如下的另一个重要定理：定理２如果xf在区间ba,上连续，则xf的原函数一定存在，dttfxxa就是xf在ba,上的一个原函数.这个定理说明连续函数的原函数一定存在.下面看几个例题：例１计算dttxx02sin在0x及2x处的导数.解；因为202sinsinxdttdxdxx，所以00sin0222sinsin2242例２求下列函数的导数（１）0lnadtttxxea；（２）dxx12sin.解这里x是x的复合函数，所以应按复合函数的求导思路来解决.（１）xuaeudxdudtttduddxxdlnxeeeeuuxxxxlnln21sinxdduddxxd21sinxudxdudduduxxxxxxuusin22sin2sin22（2）例３求极限21cos02limxdtextx解这是一个“00”型的极限，从而应该用罗比达法则来计算，分子的导数为221coscos1xttxddedtedtdxdxxudxdudtedudutcos12xeusin2xexsin2cosexxexdtexxxtx212sinlimlim22cos021cos0x2分母的导数为所以有定理3（微积分基本公式）如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba.又dttfxxa)()(也是)(xf的一个原函数,已知)(xF是)(xf的一个原函数，CxxF)()(],[bax证三、牛顿—莱布尼茨公式令ax,)()(CaaF0)()(dttfaaa,)(CaF),()()(aFxFdttfxa,)()(CdttfxFxa令bx).()()(aFbFdxxfba牛顿—莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba微积分基本公式表明：baxF)(一个连续函数在区间],[ba上的定积分等于它的任意一个原函数在区间],[ba上的增量.注意当ba时，)()()(aFbFdxxfba仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题.dxx10dxx312dxx31211dxxsindxxx194例４计算下列定积分（1）(2)(3)(4)(5)解（１）21021121012122210xdx