幸福指数的评价与量化模型

2011年河南科技大学数学建模竞赛选拔承诺书我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则.我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：A队员签名：1.2.3.日期：2011年8月18日2011年河南科技大学数学建模竞赛选拔编号专用页评阅编号（评阅前进行编号）：评阅记录（评阅时使用）：评阅人评分备注1幸福感的评价与量化模型摘要幸福感是一种心理体验，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断，又是对于生活的主观意义和满足程度的一种价值判断。而幸福指数，就是衡量社会这种感受具体程度的主观指标数值。在建立幸福指数的过程中对于问题一：我们采用层次模型，首先根据主观将附表所给的18个数据分为5个类别（身心健康、物质条件、人际关系、社会环境、自我价值实现）。然后，采用加权平均的方法对主观指标进行分值量化（采取5到0分赋值法）得到根据生活经验个人和政府可作为程度等因素建立比较判断矩阵，利用层次分析法由matlab求出每一级对上一级的权重向量由此我们得到了第一层指标的分值向量F和权重向量W，由他们相乘可得主观幸福值：*HFW=3.3721说明当前网民还是比较幸福的，基本符合现状。问题二：在问题一所建立的模型的基础上，我们通过网上查找资料，分别以某地的教师和学生的调查问卷为样本，采用合成幸福法建立数学模型。合成幸福法的思路是首先将幸福指数指标体系中的各个指标量化（百分制），再根据因子分析法确定各个指标在整个体系中的权重,求解过程我们主要利用因子分析中的共同度这个概念，来求各个指标的权重，ib=21iniiHH=å然后根据各个指标的重要性合成幸福指数，建立该第区的幸福指数数学模型。通过计算测评指标对幸福指数的权重大小，我们得出了该地区教师和学生的幸福指数分别为69.3452和71.1856，和对当地调查的结果基本一致，表明模型是可用的。问题三：我们对于以上两个模型进行了综合评价论证其有缺点提出改进建议，并对对模型的适用性进行了分析。问题四：我们综合以上内容，根据影响幸福指数的主要因素，写信给校领导提出了一些建议，来提高师生们的幸福感。关键词：幸福指数、层次分析法、加权平均法、因子分析2一问题重述改革开放三十多年，我国经济建设取得了巨大成就，人们物质生活得到了极大改善。但也有越来越多的人开始思考：我们大力发展经济，最终目的是为了什么？温家宝总理近年来多次强调：我们所做的一切，都是为了让人民生活得更加幸福。在今年的全国两会期间，“幸福感”也成为最热门词语之一。幸福感是一种心理体验，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断，又是对于生活的主观意义和满足程度的一种价值判断。它表现为在生活满意度基础上产生的一种积极心理体验。而幸福指数，就是衡量这种感受具体程度的主观指标数值。如果说GDP、GNP是衡量国富、民富的标准，那么，百姓幸福指数就可以成为一个衡量百姓幸福感的标准。百姓幸福指数与GDP一样重要，一方面，它可以监控经济社会运行态势；另一方面，它可以了解民众的生活满意度。可以说,作为最重要的非经济因素，它是社会运行状况和民众生活状态的“晴雨表”，也是社会发展和民心向背的“风向标”。根据你自己对幸福感的理解，要求完成以下工作：1、附表给出了网上调查的一系列数据，根据这些数据，试建立网民幸福感的评价指标体系，并利用这些指标建立衡量幸福指数的数学模型。2、试查找相关资料，分别建立某一地区或某一学校教师和学生的幸福指数的数学模型，并找出影响他们幸福感的主要因素。3、你所建立的评价体系和模型，能否推广到更加普遍的人群，试讨论之。4、根据你所建模型得出的结论，给相关部门(例如政府、或学校管理部门等)写一封短信(1页纸以内)，阐明你对幸福的理解和建议。二模型的假设1、调查范围广2、调查问卷是随机的，调查者分布均匀3、调查的19项指标为衡量幸福指数的主要指标，不考虑其他没有调查的指标4、调查者给出的都是深思后的结果5、问题二中查找的资料只是可靠三、问题分析问题一：由于附表中的数据无客观因素，因此在问题一的分析中，我们忽略客观因素的影响，只考虑主观因素，同时，根据题目所给的参考文献。我们先根据主观将附表所给的18个数据分为5个类别（身心健康、物质条件、人际关系、社会环境、自我价值实现），然后，采用加权平均的方法对主观指标进行分值量化（采取5到0分赋值法）利用层次分析法求出每一级对上一级的权重向量，最后，3建立了网民幸福指数的数学模型。问题二：在问题一所建立的模型的基础上，我们通过网上查找资料，采用某高校学生和教师的调查问卷为样本，采用因子分析法，建立该地区的幸福指数数学模型。通过计算测评指标对幸福指数的权重大小，我们可以找到影响他们幸福感的主要因素。四、符号说明H:幸福指数Wij:第i个一级指标下二级指标的权重W：一级指标对幸福指数的权重fij：第i个一级指标下第j个二级指标的分数fi：第i个一级指标所属第二个指标的分数向量Fi:第i个指标的分数F:第一个指标层的分数向量Ri:第i个对比矩阵的最大特征根Ai:第i个二级指标的成对比较矩阵A:第一级指标的成对比较矩阵N:矩阵维数CR:一致性比例CI：一致性指标Si:每一个选项的票数在总票中的百分比五、模型的建立与求解（1）问题一1.1建立层次结构，如表11.2构建比较判断矩阵，计算层次单排序权重向量并做一致性检验根据调查结果建立层次结构中的比较判断矩阵，求比较判断句真的最大特征值及相应的特征向量，并对特征向量做归一化得到权重向量Wi,计算一致性指标CI，依据Saaty给出的随即一致性指标RI值，计算一致性比例值CR，若CR0.1，说明通过一致性检验，可以作为权重向量，否则要对比较判断矩阵的元素进行调整。表一：层次结构目标层B准则层Bi指标层Bij幸福身心健康B1B11业余生活B12身体状况B13生活工作压力B14生活态度B21个人成就感4指数B自我实现B2B22事业上的前途B23自己是什么样的人人际适应体验B3B31和家人的关系B32和邻居的关系B33和同事的关系B34和朋友的关系环境舒适B4B41城市出行方便B42城市社会治安B43城市环境B44生活节奏物质保障B5B51经济发展状况B52住房条件B53收入状况下面我们用层次分析法来确定各个二级指标对一级指标的权重向量：W1,W2,W3,W4,W5.这些权重向量包含各个一级指标对二级指标的权重，我们采用5分制体系对调查的结果，进行量化，得到加权分。其评分表如下：表二：评分表等级非常满意满意一般不满意很不满意5分制54321量化计算方法如下：fij=5*S1+4*S2+3*S3+2*S4+1*S5（1）其中S1，S2，S3，S4,S5由matlab算出（见附表四）,然后通过加权平均算法得到第一层指标得分情况：Fi=fi*Wi（2）并得出第一级指标分值向量F然后通过同样的方法求得W最后由F,W算出幸福指数：H=F*W（3）如上所述整个幸福指数的数学模型如下：2．模型的求解下面我们对题目中的调查表按上述方法进行求解首先根据saaty等人提出用1-9尺度定义【1】每个二级指标的重要程度。尺度1-9含义如下：表三：标度的含义尺度含义51Ci与Cj影响相同3Ci比Cj影响稍强5Ci比Cj影响强7Ci比Cj影响明显的强9Ci与Cj影响绝对的强2,4,6,8Ci与Cj影响之比在上述两个相邻等级之间1,1/2,1/3,…，1/9Cj与Ci影响之比为上面尺度的互反数由此我们得到五个二级指标的成对比如下各表表四：B的判断矩阵B3B31B32B33B34B311622B321/611/51/6B331/2511/2B341/2621B5B51B52B53B5111/33B52315B531/31/51采用根法求矩阵的特征向量法得最大特征值如下表五：最大特征值R1R2R3R4R54.0493.05364.09354.22233.0385特征向量如下：B1B11B12B13B14B1111/251/3B122161/2B131/51/611/7B143271B2B21B22B23B2111/31/3B22311/2B23321B4B41B42B43B44B411347B421/3136B431/41/315B441/71/61/516W1=(0.2874,0.4973,0.0889,0.8137)TW2=(0.2184,0.5201,0.8257)TW3=(0.7587,0.0930,0.3594,0.5353)TW4=(0.8628,0.4439,0.2200,0.0755)TW5=(0.3715,0.9161,0.1506)T特征向量归一化后如下：W1=（0.17030.29470.05270.4822）W2=（0.13960.33250.5279）W3=（0.43440.05330.20580.3065）W4=（0.53850.27710.13730.0471）W5=（0.25830.63700.1047）在层次分析中Saaty定义的一致性指标CI=1RnCIn（4）一致性比率CICRRI（5）RI是随机一致性指标值具体值如下：表六:n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51综上可得一次性比率值如下：表七：CR1CR2CR3CR4CR50.01740.04620.03460.08230.0332由上可以看出一致性比率值CR＜0.1，可以认为全部通过一致性检验。及上述各权向量可以作为第二指标对第一指标的权向量。重复以上过程，运用1-9尺度再次得到第一级指标他们之间的相互重要程度，得出成对对比矩阵（见附录），最后再算出第一指标对幸福指数的最大特征向量为：W=(0.63300.63300.13540.21690.3649)TW=(0.31920.31920.06830.10940.1840)T一致性比例值5.0364551CI=0.00730.0650.1CICRRI由此可知通过了一致性检验。上述W可以作为权向量。接下去我们仍然采用5分制体系对结果进行量化，结果如下：由上表数据得f1=(2.473,2.85)7f2=(2.753,3.086,2.724,2.976,3.309)f3=(2.634,2.636,2.54,2.524,2.362,2.401)f4=(2.554,2.871)f5=(2.100,3..39,3.039,2.143)然后通过加权平均的方法算出第一指标层各项目的得分（见表）：Fi=fi*wi表八：F1F2F3F4F53.42503.41763.84773.34203.0408由此我们得到了第一层指标的分值向量F和权重向量W，由他们相乘可得主观幸福值：*HFW=3.3721说明当前网民还是比较幸福的，和模型估算结果一致。（2）问题二2.1合成幸福法建立模型多指标评价体系中最常遇到的问题是如何确定各个指标的权重，因为在整个体系中各个指标对于评价总体的影响程度不可能完全相同，因此准确确定各个指标的权重关系到幸福指数整体的准确性。确定权重的方法有多种，通常有主观定权法和客观定权法。因子分析法是客观定权法的一种，本文便是根据因子分析法求权重βi，我们主要根据因子分析中的共同度这个概念，来求各个指标的权重，ib=21iniiHH=å（6）其中Hi为因子分析中的共同度。本模型里所采用的数据是根据网上的一个问卷调查得出的数据。经过筛选获得所需要的数据后根据合成幸福指数法测度教师和学生各自的幸福指数。合成幸福法的思路是首先将幸福指数指标体系中的各个指标量化，再根据因子分析法确定各个指标在整个体系中的权重，然后