第三章 离散傅里叶变换1

第三章学习目标理解傅里叶变换的几种形式了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期卷积过程理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系了解频域抽样理论理解频谱分析过程了解序列的抽取与插值过程第三章离散傅里叶变换DFT:DiscreteFourierTransform一、Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—离散傅里叶变换连续时间、连续频率—傅里叶变换时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。()()jtXjxtedt1()()2jtxtXjed连续时间、离散频率—傅里叶级数时域连续函数造成频域是非周期的谱，而频域的离散对应时域是周期函数。000/20/201()()TjktTXjkxtedtT00()()jktkxtXjke离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续()()jjnnXexne1()()2jjnxnXeed离散时间、离散频率—离散傅里叶变换一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的210()()NjnkNnXkxne2101()()NjnkNkxnXkeN四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω0=2π/T0)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)二、周期序列的DFS及其性质()()xnxnrNrN周期序列：为任意整数为周期000()()()()aajktakxtxtkTTxtAke连续周期函数：为周期0002/jktTke基频：次谐波分量：0()()jknkNxnAke为周期的周期序列：002/jknNke基频：次谐波分量：周期序列的DFS正变换和反变换：21100()[()]()()NNjnknkNNnnXkDFSxnxnexnW2110011()[()]()()NNjnknkNNkkxnIDFSXkXkeXkWNN2jNNWe其中：()6xnDFS例：已知序列是周期为的周期序列，如图所示，试求其的系数。10()()NnkNnXkxnW解：根据定义求解560()nknxnW222662223456661412108610jkjkjkjkjkeeeee(0)60(1)933(2)33(3)0(4)33(5)933XXjXjXXjXj4()(),()8()()xnRnxnNxnxnDFS例：已知序列将以为周期进行周期延拓成，求的。解法一：数值解10()()NnkNnXkxnW780()nknxnW222238881jkjkjkeee380nknW(0)4(1)121(2)0(3)121(4)0(5)121(6)0(7)121XXjXXjXXjXXj210()NjknNnXkDFSxnxne解法二：公式解2780jknnxne340jknne222888jkjkjkjkjkjkeeeeee44411jkjkee38sin2sin8jkkekXkz与变换的关系：010xnnNxnn令其它xnz对作变换:10NnnnnXzxnzxnz210jkkNNNnkNzWenXkxnWXz可看作是对的一个周期做变换然后将变换在平面单位圆上按等间隔角抽样得到Xkxnxnzz2NzDFS的性质1、线性：其中，为任意常数,ab11()[()]XkDFSxn22()[()]XkDFSxn若1212[()()]()()DFSaxnbxnaXkbXk则2、序列的移位2[()]()()jmkmkNNDFSxnmWXkeXk10[()]()NnkNnDFSxnmxnmW证：1()()NmkimNimxiWinm令10()()NmkkimkNNNiWxiWWXk3、调制特性[()]()nlNDFSWxnXkl10[()]()NlnlnnkNNNnDFSWxnWxnW证：1()0()NlknNnxnW()Xkl4、周期卷积和1210()()Nmxmxnm12()()()YkXkXk若1120()[()]()()NmynIDFSYkxmxnm则12()[()()]ynIDFSXkXk证：11201()()NknNkXkXkWN1112001[()]()NNmkknNNkmxmWXkWN11()12001()[()]NNnmkNmkxmXkWN1120()()Nmxmxnm142512()()()(1)()6()()xnRnxnnRnxnxn例：已知序列，分别将序列以周期为周期延拓成周期序列和，求两个周期序列的周期卷积和。1120()()()Nmynxmxnm解：5120()()mxmxnm05…054321…432154…543210…32104…432105…21053…321054…105421…210543…05431…105432…543212…123450…34501…111100…11006…012345…-4-3-2-1nm1/xnm2xm21xm22xm23xm24xm25xm2/xnm1086101412()yn同样，利用对称性11201()()NlXlXklN12101()()NlXlXklN12()()()ynxnxn若10()[()]()NnkNnYkDFSynynW则三、离散傅里叶变换（DFT）()()rxnxnrN()()()NxnxnRn()(())NXkXk()()()NXkXkRk同样：X(k)是一个N点的有限长序列()()NxnNxn长度为的有限长序列周期为的周期序列(())Nxn()xn的主值序列()xn的周期延拓有限长序列的DFT正变换和反变换：10()[()]()01NnkNnXkDFTxnxnWkN101()[()]()01NnkNkxnIDFTXkXkWnNN2jNNWe其中：10()()()()()NnkNNNnXkxnWRkXkRk或101()()()()()NnkNNNkxnXkWRnxnRnNx(n)的N点DFT是x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；DFTz与序列的DTFT和变换的关系：10()()NnnXzxnz10()()NnkNnXkxnW10()()NjjnnXexne2()jkNXex(n)的DTFT在区间[0，2π]上的N点等间隔抽样。2()jkkNNzWeXz4()(),()816DFTxnRnxn例：已知序列求的点和点。DTFTxn解：求的jjnnXexne222222jjjjjjeeeeee32sin2sin/2je30jnne411jjee88xnDFTN求的点28jkXkXe3242sin2812sin28jkkek38sin2sin8jkkek1616xnDFTN求的点216jkXkXe322162sin21612sin216jkkek316sin4sin16jkkek四、离散傅里叶变换的性质DFT正变换和反变换：10()[()]()()NnkNNnXkDFTxnxnWRk101()[()]()()NnkNNkxnIDFTXkXkWRnN2jNNWe其中：1、线性：,ab为任意常数这里，序列长度及DFT点数均为N若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且12max[,]NNN11()[()]XkDFTxn22()[()]XkDFTxn若1212[()()]()()DFTaxnbxnaXkbXk则2、序列的圆周移位()(())()mNNxnxnmRn定义：()()()xnxnxnm()mxn周期延拓移位取主值序列(())Nxnm有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。()[()][(())()]mmNNXkDFTxnDFTxnmRn()mkNWXk[(())()][()()]NNNDFTxnmRnDFTxnmRn证：[()]()NDFSxnmRk()()mkNNWXkRk()mkNWXk调制特性：时域序列的调制等效于频域的圆周移位2[(())()]()()jnlnlNNNNIDFTXklRkWxnexn[(())()][()()]NNNIDFTXklRkIDFTXklRk证：[()]()NIDFSXklRn()()()nlnlNNNWxnRnWxn21()cos(())(())()2NNNnlDFTxnXklXklRkN21()sin(())(())()2NNNnlDFTxnXklXklRkNj1(())(())()2NNNIDFTXklXklRkj证：1()()2nlnlNNWxnWxnj22()2jnljnlNNeexnj2()sinnlxnN3、共轭对称性序列的Fourier变换的对称性质中提到：()()()eoxnxnxn**()()1/2[()()]eexnxnxnxn**()()1/2[()()]ooxnxnxnxn其中：任意序列可表示成和之和:()exn()oxn*1()[()()]2exnxnxn*1()[()()]2exnxnxn(())Nxn*(())NxNn其中：**()()1/2[()()]ooxnxnxnxn*1/2[(())(())]NNxnxNn共轭反对称分量：**()()1/2[()()]eexnxnxnxn*1/2[(())(())]NNxnxNn共轭对称分量：()()()eoxnxnxn任意周期序列：定义：()()()epopxnxnxn则任意有限长序列：()()()opoNxnxnRn*1/2[(())(())]()NNNxnxNnRn圆周共轭反对称序列：()()()epeNxnxnRn*1/2[(())(())]()NNNxnxNnRn圆周共轭对称序列：圆周共轭对称序列满足：*()(())()epepNNxnxNnRnRe[()]Re[(())()]epepNNxnxNnRn实部圆周偶对称