反函数教案

《反函数概念与求法》齐鲁石化总校五中翟慎佳2002/10/17课题《反函数概念与求法》课型新授课教学目标（一）知识目标理解反函数概念及表示符号，加深对函数概念的理解。（二）能力目标掌握求反函数一般步骤，会求一些简单函数的反函数。（三）德育目标提高学生用辩证的观点分析解决问题的意识。教学重点反函数的概念与求法教学难点反函数的概念与求法教学方法启发引导、精讲精练、CAI课时安排1课时教学器材多媒体计算机、投影议精讲精练设计思路反函数的概念与求法，是函数内容的进一步深入，既是重点，也是难点。学生在已学过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等简单的函数，积累了一定的“函数模型”；又在高中前一阶段学习了运用集合、对应的思想来刻画、理解函数的一般定义，对函数定义的“映射”本质有了一定的认识。本节课的设计以此为基础，通过以旧引新，使学生理解反函数的概念，加深对函数概念的理解，掌握简单函数的反函数的求法。教学过程教师活动学生活动教学意图1．新课引入问题1：（1）走进一家2元商店，买x件商品需要多少钱？（2）量力而行，现有20元钱，能买几件商品？学生回答：y=2x(xN)；10件；通过身边实例创设问题情境，激发学生的学习热情，为引为反函数作准备。教师活动学生活动教学意图（3）若有y元（2的倍数）能买几件？第（1）问说明钱数y是购买商品的件数x的函数，第（3）问说明x是y的函数。这两个函数互为反函数。问题2：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt,其中速度v是常量。反过来，也可以由位移s和速度v（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即vst，则t是s的函数。两个函数：对应法则恰好相反，定义域和值域也恰好互换。vst是函数s=vt的反函数。问题3：在函数62xy（Rx）中，x是自变量，y是x的函数。从中解出x，得32yx（Ry）.这样，对于y在R中任何一个值，通过式子32yx，x在R中都有唯一的值和它对应。所以，x为y的函数，这时我们说32yx（Ry）是函数62xy（Rx）的反函数。注意：以上各对函数中，都存在着关系：①它们的对应法则是互逆的；②它们的定义域和值域互换：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域.称这样的函数互为反函数.什么是反函数？下面分析反函数定义。x=2y)2(Ny学生思考从函数三要素方面回答师生一起分析理解两个函数的联系。x是y的函数，对学生来说是陌生的从物理实例入手，以运动变化观点分析函数关系，渗透反函数概念。注意函数三要素的变化，揭示反函数的特征。再举数学实例，揭示反函数现象。提醒学生注意分析方法。揭示反函数本质特征。教师活动学生活动教学意图2．反函数定义①一般地，设函数))((Axxfy的值域是C。②根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x=(y)。③若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数。④这样的函数x=(y)(Cy)，叫做函数))((Axxfy的反函数，记作)(1yfx.⑤在函数)(1yfx中，y是自变量，x表示函数。⑥习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此对调)(1yfx中字母x，y，改写成)(1xfy。例如vttf)(的反函数就可以写为vttf)(1；62)(xxf的反函数为32)(1xxf.（1）引导让学生看书5分钟，（2）然后分6句话详细分析定义3．正确理解反函数学生看书P66定义，尝试理解感性认识到理性认识。反函数定义，水到渠成！给出定义并学生自己去理解，需逐句理解。教师活动学生活动教学意图（1）反函数是函数吗？为什么？答：是函数，定义中已说明。（2）什么样的两个函数才是反函数？答：对应法则相反，定义域和值域恰好互换。（3）)(1xfy的反函数是谁？符号)(1xf读法及含义？答：是)(xfy，它们互为反函数。)(1xf读作f逆，表示逆映射（4）在映射观点下，什么是反函数呢？答：从映射的定义可知，函数)(xfy是定义域A到值域C的映射，而它的反函数)(1xfy是集合C到集合A的映射，定义域和值域关系如下表：函数)(xfy反函数)(1xfy定义域AC值域CA（5）什么样的函数有反函数？答：有反函数的充要条件：函数是一一映射。单调函数一定是一一映射必有反函数。（6）如何求反函数呢？答：用定义。定义给出求反函数的一般步骤。学生思考并回答。通过一系列问题使学生正确理解定义，澄清模糊认识。温故而知新，适时复习映射与函数概念。教师活动学生活动教学意图4．求反函数的一般步骤。一解：由)(xfy解得)(1yfx二换：对换x，y得)(1xfy三注明：注明定义域)(Cx5．求反函数例1．（P66）求下列函数的反函数：①)(13Rxxy；②)(13Rxxy；③)0(1xxy④)1,(132xRxxxy且.解：①由13xy解得31yx∴函数)(13Rxxy的反函数是)(31Rxxy，由)(13Rxxy解得x=31y,∴函数)(13Rxxy的反函数是)(13Rxxy③由y=x+1解得x=(y-1)2,∵x≥0，∴y≥1.∴函数)0(1xxy的反函数是x=(y-1)2(x≥1)总结记录要点：一解二换三注明。师生同解。引导学生弄清题目类型。学会求反函数，规范方法和书写步骤。反函数的定义域是原来函数的值域！故先求值域。教师活动学生活动教学意图④132xxy解得23yyx∵x≠1∴132xxy=2+15x≠2∴函数)1,(132xRxxxy且的反函数是)2,(23xRxxxy6．巩固练习1.教科书P68练习1、2、3、42.求下列函数的反函数（机动练习）（1）211xy（－1≤x≤0）；（2）)01(10(122xxxxy需强调反函数要注明定义域；分段函数须分段求反函数。7．教学小结：（1）求反函数的一般步骤分三步：一解、二换、三注明。（2）求反函数前，先判是否有反函数。（3）反函数的定义域由原来函数的值域得到，一般不能由反函数解析式得到。8．布置作业思考为什么这样做？学生记录要点先求值域。及时总结，形成方法定义域和值域都应由原来的函数确定使知识系统化，并形成能力。教科书P69习题1、2