金融工程与风险管理(南京大学 林辉) financial engineering and risk

金融工程与风险管理第7章金融市场风险计量模型：VaR7.1VaR的定义ValueatRisk，译为风险价值或在险价值，以货币表示的风险，处在风险中的金融资产的货币量。定义：VaR是指在某一给定的置信水平下，资产组合在未来特定的一段时间内可能遭受的最大损失。（Jorion，1997）VaR是一种对可能实现的价值（市值）损失的估计，而不是一种“账面”的损失估计。VaR：金融风险的“天气预报”假设1个基金经理希望在接下来的10天时间内存在95%概率其所管理的基金价值损失不超过$1,000,000。则我们可以将其写作：Prob()1VaRcProb($1,000,000)195%VaR回答的问题：我们有C的置信水平在接下来的T个交易日中损失程度不会超过的金额。VaR：金融风险的“天气预报”例如：A银行2006年4月1日公布其持有期为10天、置信水平为99%的VaR为1000万元。这意味着如下3种等价的描述：1、A银行从4月1日开始，未来10天内资产组合的损失大于1000万元的概率小于1%；2、以99％的概率确信：A银行从4月1日起未来10天内的损失不超过1000万元。3、平均而言，A银行在未来的100天内有1天损失可能超过1000万元。（思考：一旦超过有多少损失呢？）7.2VaR的基本参数持有期：计算VaR的时间长度资产组合的波动性（方差）与时间长度正相关，故VaR随着持有期增加而增加。VaR隐含假设：资产组合在持有期内不发生变化，若有变化则持有期要调整。《新资本协议》：计算监管资本的VaR持有期至少为10个交易日，JPMorgan等金融机构内部通常选择为1天。讨论：持有期的选择资产流动性（liquidity）：事前确定原则：按金融机构无法控制损失的时间期限一般企业的资产组合缺乏流动性，可能在若干日都无法改变头寸，则相应的持有期就要长，以使VaR给出的风险能够覆盖多日的“考验”。如果金融机构能够一天一次度量风险并且改变资产组合的构成，则其风险可以控制在1天内，故可将持有期定为1天。若头寸可以快速出清（liquidation）或变现，则可以选择较短的持有期，反之亦反。讨论：持有期的选择正态分布的要求持有期越长，资产组合回报r的分布越偏离正态分布，VaR计算中最方便的假设是回报率服从正态分布，在较短的持有期下，基于正态分布的假设更为合理。头寸的调整持有期越长，风险管理者越可能改变头寸，则时间越短越能保证资产组合所有资产头寸不变的假设。-4-20246-.3-.2-.1.0.1.2.3.4.5R_10NormalQuantileTheoreticalQuantile-Quantile-4-3-2-101234-.8-.6-.4-.2.0.2.4.6.8R_125NormalQuantileTheoreticalQuantile-Quantile讨论：持有期的选择数据约束从理论上讲，VaR模型可以较为准确地计算任意持有期下资产组合的市场风险，但事实上，鉴于长期历史数据收集的困难，往往设置较短的持有期。例如，若计算某资产的VaR需要1000个数据才能达到足够的精度，若计算该资产持有期为1天的VaR，则需要4年（每年250个交易日）的数据，而如果持有期为10天，就需要有40年的数据。长时期的历史数据在实际中可能无法获得，而且距离当前时刻过于遥远的历史数据，由于市场情形的变化可能使早期的数据对VaR计算具有很大的干扰性。讨论：置信水平的选择后验测试置信水平越高，对于同样的资产组合、在给定的持有期内，置信水平越高，则VaR越大，即资产的损失大于VaR的可能性越小，可靠性越高！但是，为了验证VaR所需要的数据越多，实际中可能受到数据量的限制。风险资本要求金融机构维持安全性的愿望和股东报酬率之间的权衡。监管要求监管当局为保持金融系统的稳定需要设置较高的置信水平，如《新资本协议》至少为99%。讨论：置信水平的选择统计和比较的需要不同的机构使用不同的置信水平报告VaR数值，需要知道其假设的分布和置信水平，若分布假设为正态分布，则可以相互转化，不影响不同机构之间的不同置信水平下的评价。但是，不同分布下的VaR无法转化，如T分布。@qtdist(0.99,4)=3.7469473879792，@qtdist(0.95,2)=2.91998558035372。讨论：置信水平的选择置信水平的目的：即可信度或可靠性，通常为99%（BCBS）或95％（JPMorgan）。理由：银行业的脆弱性，防范小概率发生的极端风险，故要求计量的是资产组合的下方风险(DownsideRisk)。虽然这种风险发生的概率只有5％或者1％，但危害性大。总结：VaR的计算的是极端风险，而不是平均风险，这与传统的方差计量风险有本质区别。7.3VaR的数学定义由VaR的定义，若资产组合未来的随机损益为∏=⊿V，则对应于置信水平为（一般为99％或者95％）的VaR满足如下等式1Pr()cVaR由于约定俗成的惯例，一般将VaR取为正值，故在（1.1）中的VaR前面加负号。1999年，Artzner等给出严格的VaR数学定义式（7.1）infPr1VaRyyc（7.2）7.3.1连续情形由7.2，VaR就是对应于置信水平c的损益分布的下分位数，由于其值为负，故在（7.2）等号右边加负号，这表明VaR计量的是资产组合的下方风险（DownsideRisk）。在连续的情形下VaR满足1()()VaRcfydyFVaR()fy()Fy和，分别表示资产组合随机损益的PDF和CDF上式是解析法计算VaR的基本依据。VaR收益损失1-C∏Pr约定俗成：VaR是以正数表示。7.3.2离散情形式（7.2）对VaR的定义既适用于损益序列为连续型随机变量的情形，也适用于离散的损益分布。若资产组合的损益序列为离散型，则VaR满足kkVaR1Pr(),k1,2,...c上式便成为历史模拟法和蒙特卡洛模拟法计算VaR的基本依据。7.4VaR计算的基本原理不妨将A银行的全部资产看成1个资产组合，期初（比如2005.1.1）该组合的盯市价值为V0，10天后其资产的价值如下图所示：(VaR不是以账面价值，而是以市场价值计算来计算风险)回报率r是随机变量v0持有期T＝10天vT=v0(1＋r)7.4VaR计算的基本原理如果在某个置信水平C（比如99％）下，第T天资产组合的最低价值为VT*，则0(1)TTvvr•由VaR的定义：资产组合在未来一段时间内可能的最大损失，有两种损失定义:•若以绝对损失定义VaR，则称为绝对VaR。•若以回报的均值为参照来定义损失，即相对损失，则称为相对VaR。00000()(1)0TTTTAVaRvvvvvvrvr期初的价值已知需要估计的未知量期初价值期末的价值（在某个置信水平下）绝对VaR（AbsoluteVaR）相对VaR（RelativeVaR）如果资产组合的平均回报率为μ，在某一置信水平下，资产组合持有期末的最小回报率为r*，则0000*()(())(1)(1)=-TTTTRVaREvvEvvvvrvvrvv示例：相对VaRV95％置信水平，最大损失－2580万*V平均收益为800万比较：相对VaR与绝对VaR*$8,000,000($25,800,000)$33,800,000RVaRvv*$25,800,000AVaRv总结：VaR的优点1、精确性：借助于数学和统计学工具，VaR以定量的方式给出资产组合下方风险（DownsideRisk）的确切值。2、综合性：将风险来源不同、多样化的金融工具的风险纳入到一个统一的计量框架，将整个机构的风险集成为一个数值。可实施集中式的风险管理系统，提高风险管理的效率。总结：VaR的优点3、通俗性：货币表示的风险，方便公众、银行、监管机构之间的沟通，充当信息披露工具。起源：JPMorgan的CEOWeathstone要求每天的《4.15报告》只产生一个数字：计量不同交易工具，不同部门综合后的风险。截止到1999年，BCBS监管下的71家银行中有66家对公众披露VaR。缺点：VaR并没有告诉我们在可能超过VaR损失的时间内（如95％置信度的5/100天中；或99％的1/100天中）的实际损失会是多少。7.5VaR计算方法的解析法解析法，又称为方差-协方差法、参数法。借助统计学，利用历史数据拟合回报率r的统计分布。常见的分布有：正态分布、对数正态分布、t分布、广义误差分布（GED）等。由历史数据，可以得到回报率r的均值、方差、协方差等，即所谓的统计参数。由参数来估计回报率r在某个置信水平下的最小值。7.5.1单资产正态分布VaR假定A银行期初的资产市值v0=$100,000,000根据历史资料，其资产10天回报率r服从正态分布，即*111%0.01~(0.01,0.04)0.299%,2.33,2.330.20.010.465ccrrNzczzr若可以查正态分布表得到所以这里我们也可以发现方差计量风险的缺点：虽然回报率方差仅为4％，但回报率可以低到-46.5%。若以绝对VaR来计算*0000(1)$100,000,000(0.465)$46,500,000AVaRvvvvrvr计算结果表明：在10天内，这家期初有1亿美元资产的银行，我们可以以99％概率确信：其绝对损失不大于4650万美元，或者说绝对损失大于4650万美元的可能性只有1％。7.5.1单资产正态分布VaR在持有期[0,1]（单期）内该资产的回报为r23210ln(4)~(,)23aagaarrsrrrrNs则期末资产的随机价值为10(1)vvr定义该资产持有期为1、置信水平为c的最低价值（资产价值的下c分位数）为10(1)vvr由正态分布的性质则有()/czr则根据VaR的定义即可得到单期的AVaR为*1010()cAVaRvvvz下面计算持有期为T期的VaR，资产的回报ri满足2~..(,)iriidN121()()()()TTiiTTiiErErTDrDrT12111lnlnln...lnTtTtttTTiittttTssssrrssss0()TcAVaRvzTT以上计算的是绝对VaR，若是相对VaR，容易得到10cRVaRvz0TcRVaRvzT并且成立这就是著名的“平方根法则”（square-rootrule）1TRVaRRVaRT算例设某股票初始价格为10元，若该股票的回报服从正态分布，其日回报的标准差为5％，则该股票持有期为1年（250个交易日），99％置信水平下的每股RVaR为1102.335%25018.42RVaR年252,5,52yeardayweekdayyearweek平方根法则的模型风险平方根法则：若持有期增加为原来的K倍，则RVaR值增大为原值的K0.5倍。平方根法则成立的必要条件是：资产的回报是独立同分布的，且全部头寸只能在持有期末瞬间出清。事实上，回报的波动很难满足上述的两个假设，故以平方根法则计算的VaR存在模型风险。平方根法则的模型风险当资产的持有期从1天增加到T天时，若1天的风险价值为VaR，则T天的风险价值为由此就会导致一个荒谬的结果：一个期初价值为1元的资产，经过一个充分长的T天后，该资产的VaR将超过1元。这意味着该资产的价值为负，但实际上该资产无论经过多少持有期，其最大的损失就是1元而不可能大于它。故巴塞尔资本协议要求1天换算为10天可用平方根法则。TVaR平方根法则的模型风险导致这个问题的根源是：VaR基于盯