第5章__三角函数_Microsoft_Word_文档

1第五章三角函数考点1任意角的三角函数考点精析1.理解正角、负角、零角的概念；理解弧度制的意义，能进行角度与弧度的换算2.理解和任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义3.掌握三角函数值的符号：掌握特殊角的正弦、余弦、正切的值考题回顾〔河南考题〕1.（2008年）第一象限角总小于90°（）解答：×2.〔2007年〕当0＜x＜2π时，sinx＜x（）解答：√3.〔2006年〕若cosx=364m，则m的取值范围是（）A.[49,43]B.[89,83]C.（49,43）D.（89,83）解答：A备考指导一、知识清单1.角的概念的推广（1）“正角”与“负角”、“零角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角，记法：角或可以简记成.角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角.要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好像与正数、负数的规定一样，零角无正负，就数零无正负一样.（2）象限角为了研究方便，我们往往在平面直有坐标系中来讨论角.角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）（3）终边相同的角所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：S＝Zk360·，　k即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.注意以下四点：①k∈Z；②是任意角；③k·360°与之间是“+”号，如k·360°-30°，应看成k·360°（-30°）；④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.2.弧度制（1）弧度制的定义2长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角.它的单位是rad读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.（2）角度制与弧度制的换算：∵360°＝2πrad∴180°＝πrad1°=rad180π≈0.01745rad1radπ180≈57.30°=57°18′（3）一些特殊角的度数与弧度数的对应值：角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度06432233456角度210°225°240°270°300°315°330°360°720°弧度76544332537411623（4）①弧长公式：l=r·a②lRs21，其中l是扇形弧长，R是圆的半径.3.任意角的三角函数（1）任意角的三角函数定义设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x，y）,则P与原点的距离r=02222＞yxyx比值ry叫做的正弦记作sin=ry比值rx叫做的余弦记作cos=rx比值xy叫做的正切记作tan=xy比值yx叫做的余切记作cot=yx比值xr叫做的正割记作sec=xr比值yr叫做的余割记作csc=yr根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角，上述六个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即)(2Zkk时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan、sec无意义；当角的终边在横轴3上时，即＝kπ（k∈Z）时，终边上任意一点P的纵坐标y都为0，所以cot、csc无意义；除此之外，对于确定的角，上面的六个比值都是惟一确定的实数，，这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上六种函数，统称为三角函数.注意：①以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.②OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么地方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.③sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样.④定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置（终边在坐标轴上的除外），即函数定义与的终边位置无关.⑤比值只与角的大小有关.（3）三角函数的定义域函数定义域值域sin{|}aaR[1,1]cos{|}aaR[1,1]tan{|,}2aakkZ{|}yyRcot{|,}aakkZ{|}yyRsec{|,}2aakkZ(,1][1,)csc{|,}aakkZ(,1][1,)（4）三角函数值在各象限内的符号规律根据三角函数的定义可知，由于r＞0，所以三角函数值的符号，只与a终边上一点p(x,y)的坐标x，y的符号有关，因此，三角函数在四个象限内的符号可依照如下两表帮助理解和记忆.所在象限的三角函数一二三四sin++--cos+--+tan+-+-cot+-+-说明：①seca与cosa的符号一致，cosa与sina符号一致②由角所在的象限能确定三角函数值的符号，反之由三角函数值的符号也能确定角所在的象限.4③以上三角函数值的符号可从任意角的三角函数的定义得到，也可以各象限取“+”号为标准用顺口溜的形式帮助记忆三角函数的符号.即“一齐全，二正弦，三两切，四余弦”，即第一象限内所有角的三角a函数全为正的，第二象限只有正弦为正，第三象限正切，余切是正的，第四象限只有余弦取正。二、典型例题【例1】下列命题正解的是（）A.终边相同的角一定相等B.第一象限角都是锐角C.锐角都是第一象限角D.小于90°的角锐角【解答】C.【评述】考查角的基本概念，注意区分锐角，小于90°的角，第一象限角.方法一：根据各种角的定义，利用排除法解答，要想否定一个命题，只需举出一个反例即可.对于A，-60°与300°是终边相同的角，但它们并不相等，应排除A选项.对于B，390°是第一象限角，可它不是锐角，∴应排除B选项.对于D，-60°是小于90°的角，但它不是锐角，∴应排除D选项.综上，可知选C选项.方法二：利用定义直接判断∵锐角的集合是900＜＜①Zkkakx，＜＜36090贩360②∴对于②当k＝0时②与①相同∴锐角一定是第一象限角选择C【例2】在0°到360°内找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.（1）120°（2）640°（3）-950°12′【解答】（1）∵-120°＝-360°+240°∴在0°到360内与-120°终边相同的角为240°，其为第三象限角。（2）∵640°＝360°+240°∴在0°到360°内与640°终边相同的角为280°，其为第四象限角.（3）∵-950°12′＝-1080°+129°48′∴在0°到360°内与-950°12′终边相同的角为129°48′，其为第二象限角.【评述】本题考题终边相同的角的表示方法ak·360°（k∈Z），其中在0°到360°内即可.【例3】求终边落在直线y=-x的角的集合.【解答】在0°～360°范围内满足条件的角为135°和315°，∴终边直线y=x的角的集合是Zkk，135?60∪Zkkaa，315360·＝Zk135?802，k∪Zk135?80)12(，k＝Znna，513?0【评述】考查终边相同的角的集合的表述方法，利用相同的方法，可以求出终边为y=x的角的集合，即Znna，54180，可得出终边为y=x的角的集合，即Znna，5490.5【例4】若为第一象限角，那么2是第几象限角？【解答】依题意得k·360°＜＜k·360°+90°，k∈Z∴k·180°＜2＜k·180°+45°，k∈Z①若k为偶数，不妨设k＝2n，n∈Z，则n·360°＜2＜n·360°+45°n∈Z此时，2的终边落在第一象限，且位于第一象限角平分线与x轴非负半轴所围成的区域内，不包括边界.②若k为奇数，不妨设k＝2n+1，n∈Z，则n·360°+180°＜2＜n·360°+225°k∈Z此时，2的终边落在第三象限，且位于第三象限角平分线与x轴非正半轴所围成的区域内，不包括边界.【评述】在本例题的基础上，可以进一步推导出各个象限角的半角范围，借助图示来记忆.图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第一、第二、第三、第四象限角的半角范围，如：当x为第二象限角时，2为第一、第三象限角的后半区域.【例5】若角的终边与角6的终边关于直线y=x对称，且x∈（-4π，4π），则=.【解答】设角6的终边为OA，OA关于直线y=x对称的射线为OB，则以OB为终边的角的集合为终边的角的集合为Zkk,32.∵∈（-4π，4π）∴-4π＜32k＜4π，k∈Z∴k＝-2，-1，0，1时为所求，即＝37,3,35,311说明：弧度制下的有关记忆法和结论.（1）终边相同的角：2kπ+（k∈Z），前后单位要一致.（2）象限角：第一象限角的集合=Zkkk，＜＜22；第二象限角的集合=Zkkk，＜＜222；第三象限角的集合=Zkkk，＜＜2322；第四象限角的集合=Zkkk，＜＜22232.（3）坐标轴上的角：6终边在x轴的正半轴上的角的集合为Zkk,2终边在x轴的负半轴上的角的集合为Zkk,2终边在x轴上的角的集合为Zkk,终边在y轴的正半轴上的角的集合为Zkk,22终边在y轴的负半轴上的角的集合为Zkk,232终边在y轴上的角的集合为Zkk,2终边在坐标轴上的角的集合为Zkk,2【例6】若a是第四象限角，则角π－a是（）【答案】第三象限角【评述】本题考查象限角的概念，可由a是第四象限角，确定π－a的范围，也可以取特殊值代入验证.方法一：因为kak222＜＜从而kak222＜＜所以kak2232＜＜即a－是第三象限角【例7】确定下列三角函数值的符号：（1）cos250°；（2）sin)4(；（3）tan(-672°)（4）tan311【解答】（1）因为250°是第三象限角，所以cos250°＜0；（2）因为4是第四象限角，所以sin)4(＜0；（3）因为-672°=-720°+48°，所以tan(-672°)=tan（-720°+48°)（4）因为311＝2π+35，所以tan311＝352＝tan35.因为35是第四象限角，所以tan311＜0.【评述】确定三角函数值符号的关键是确定角在哪一个象限.7【例8】已知角的终边在直线xy3，用三角函数定义求sin和cot的值.【解答】设P（a，3a）（a≠0）是角终边xy3上一点，则cot=333aa若a＜0，则是第三象限角r=aaaa22)3(22此时，sin=2323aa当a＞0，则是第一象限角r=aaaa22)3(22，此时sin=2323aa【例9】已知角a的终边经过点P（-12a，5a）(a∈R，且a≠0)，求a的六个三角函数值.【解答】∵x=-12a，y=5a∴r=aaayx13)5()12(2222（1）a＞0时，r＝13a，角在第二象限.13121312cos,135135sinaaaary，512512cot,125125tanaayxaaxy，.513513csc,12131213secaayraaxr