【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)不等关系与不等式 理 北师大版

-1-第一节不等关系与不等式【考纲下载】1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景．3．掌握不等式的性质及应用．1．比较两个实数大小的法则设a，b∈R，则：(1)a＞b⇔a－b＞0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a＜b⇔a－b＜0.2．不等式的基本性质性质性质内容注意对称性ab⇔ba⇔传递性ab，bc⇒ac⇒可加性ab⇔a＋cb＋c⇔可乘性ab,c0⇒acbcc的符号ab,c0⇒acbc同向可加性ab,cd⇒a＋cb＋d⇒同向同正可乘性ab0,cd0⇒acbd⇒可乘方性ab0⇒anbn(n∈N，n≥1)同正可开方性ab0⇒nanb(n∈N，n≥2)3．不等式的一些常用性质(1)倒数性质①ab，ab0⇒1a1b.②a0b⇒1a1b.③ab0,0cd⇒acbd.④0axb或axb0⇒1b1x1a.(2)有关分数的性质若ab0，m0，则：①真分数的性质bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0)．②假分数的性质-2-aba＋mb＋m；aba－mb－m(b－m0)．1．同向不等式相加与相乘的条件是否一致？提示：不一致．同向不等式相加，对两边字母无条件限制，而同向不等式相乘必须两边字母为正，否则不一定成立．2．(1)ab⇔1a1b成立吗？(2)ab⇒anbn(n∈N，且n1)对吗？提示：(1)不成立，当a，b同号时成立，异号时不成立．(2)不对，若n为奇数，成立，若n为偶数，则不一定成立．1．已知ab，cd，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是()A．adbcB．acbdC．a－cb－dD．a＋cb＋d解析：选D由不等式的性质知，ab，cd⇒a＋cb＋d.2．已知a，b，c∈R，则“ab”是“ac2bc2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选Bac2bc2⇒ab，但当c＝0时，abD⇒/ac2bc2.故“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件．3．如果a∈R，且a2＋a0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是()A．a2a－a2－aB．－aa2－a2aC．－aa2a－a2D．a2－aa－a2解析：选B∵a2＋a0，∴－1a0.不妨令a＝－12，易知选项B正确．4．已知ab，则下列不等式正确的是()A.1a1bB．a2b2C．2－a2－bD．2a2b解析：选C∵ab，∴－a－b，∴2－a2－b.5．(教材习题改编)已知－2a－1，－3b－2，则a－b的取值范围是________，a2＋b2的取值范围是________．解析：∵－2a－1，－3b－2，∴2－b3,1a24,4b29.∴0a－b2,5a2＋b213.答案：(0,2)(5,13)考点一比较大小[例1](1)已知m∈R，ab1，f(x)＝m2xx－1，则f(a)与f(b)的大小关系是()A．f(a)f(b)B．f(a)f(b)C．f(a)≤f(b)D．不确定-3-(2)若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为a________b(填“＝”、“”或“”)．[自主解答](1)法一：∵f(a)＝m2aa－1，f(b)＝m2bb－1，∴f(a)－f(b)＝m2aa－1－m2bb－1＝m2aa－1－bb－1＝m2·ab－－ba－a－b－＝m2·b－aa－b－，当m＝0时，f(a)＝f(b)；当m≠0时，m20，又ab1，∴f(a)f(b)．即f(a)≤f(b)．法二：(特值法)令a＝3，b＝2.则f(3)＝3m22，f(2)＝2m2.当m＝0时，f(a)＝f(b)；当m≠0时，f(a)f(b)．故f(a)≤f(b)．(2)可以利用ab＝18161618＝181616×1162＝9816×1216＝98216，∵982∈(0,1)，∴982161，∵18160,16180，∴18161618.即ab.[答案](1)C(2)【互动探究】若将本例(1)条件中“ab1”改为“ab1”，试比较f(a)与f(b)的大小．解：∵f(a)－f(b)＝m2·b－aa－b－，当m＝0时，f(a)＝f(b)；当m≠0时，m20，又ab1，∴b－a0，a－10，b－10，∴f(a)f(b)．故f(a)≥f(b)．【方法规律】比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论(注意所比较的两个数的符号)．(3)特殊值法若是选择题、填空题可以用特殊值法比较大小；若是解答题，可以用特殊值法探究思路．1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．MNB．MNC．M＝ND．不确定解析：选BM－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－10，a2－10.∴(a1－1)(a2－1)0，即M－N0.∴MN.2．当a0，b0且a≠b时，比较aabb与abba的大小．解：aabbabba＝aa－bbb－a＝aa－b1ba－b＝aba－b.∵当ab，即ab1时，aba－b1，∴aabbabba.-4-当ab，即ab1时，aba－b1，∴aabbabba.∴当a0，b0且a≠b时，aabbabba.高频考点考点二不等式性质的简单应用1．不等式性质的考查主要以客观题为主，难度中等偏下．2．高考对不等式性质的考查有以下几个命题角度：(1)与充要条件相结合命题；(2)与命题真假的判断相结合命题；(3)求代数式的取值范围．[例2](1)(2013·天津高考)设a，b∈R，则“(a－b)·a20”是“ab”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2013·北京高考)设a，b，c∈R，且ab，则()A．acbcB.1a1bC．a2b2D．a3b3(3)(2012·湖南高考)设ab1，c0，给出下列三个结论：①cacb；②acbc；③logb(a－c)loga(b－c)．其中所有正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③(4)(2014·鹰潭模拟)设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是________．[自主解答](1)(a－b)·a20，则必有a－b0，即ab；而ab时，不能推出(a－b)·a20，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a20”是“ab”的充分而不必要条件．(2)A选项，当c0时，acbc，故A不正确；B选项，当a0b时，显然B不正确；C选项，当a＝1，b＝－2时，a2b2，C不正确；D选项，因y＝x3是单调递增函数，当ab时，有a3b3，D是正确的．(3)由不等式性质及ab1，知1a1b，又c0，所以cacb，①正确；由指数函数的图象与性质，知②正确；由ab1，c0，知a－cb－c1－c1，由对数函数的图象与性质，知③正确．(4)∵4≤x2y≤9，∴19≤yx2≤14，∴181≤y2x4≤116.又∵3≤xy2≤8，而x3y4＝1y4x3＝1xy2·y2x4，且127≤xy2·y2x4≤12，∴2≤x3y4≤27.[答案](1)A(2)D(3)D(4)27不等式性质的应用问题的常见类型及解题策略(1)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．(2)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．(3)求代数式的取值范围．要注意不等式同向可乘性的适用条件以及整体思想的运用．1．已知ab0，给出下列四个不等式：①a2b2；②2a2b－1；③a－ba－b；④a3＋b32a2b.其中一定成立的不等式为()-5-A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解析：选A由ab0，可得a2b2，①成立；由ab0，可得ab－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)f(b－1)，即2a2b－1，②成立；∵ab0，∴ab，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b·(a－b)0，∴a－ba－b，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，则a3＋b32a2b，④不成立．2．若a0b－a，cd0，则下列命题：①adbc；②ad＋bc0；③a－cb－d；④a(d－c)b(d－c)中正确的命题为________．解析：∵a0b，cd0，∴ad0，bc0，则adbc，①错误；由a0b－a，知a－b0，又－c－d0，因此a·(－c)(－b)·(－d)，即ac＋bd0，∴ad＋bc＝ac＋bdcd0，故②正确；显然a－cb－d，∴③正确；∵ab，d－c0，∴a(d－c)b(d－c)，∴④正确．答案：②③④考点三不等式与函数、方程的综合问题[例3]已知f(x)是定义在(－∞，4]上的减函数，是否存在实数m，使得f(m－sinx)≤f1＋2m－74＋cos2x对定义域内的一切实数x均成立？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．[自主解答]假设实数m存在，依题意，可得m－sinx≤4，m－sinx≥1＋2m－74＋cos2x，即m－4≤sinx，m－1＋2m＋12≥－sinx－122.因为sinx的最小值为－1，且－sinx－122的最大值为0，要满足题意，必须有m－4≤－1，m－1＋2m＋12≥0，解得m＝－12或32≤m≤3.所以实数m的取值范围是32，3∪－12.【方法规律】不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，m≤f(x)恒成立，只需m≤f(x)min；m≥f(x)恒成立，只需m≥f(x)max.已知奇函数f(x)在R上是单调递减函数，α，β，γ∈R，α＋β0，β＋γ0，γ＋α0，说明：f(α)＋f(β)＋f(γ)的值与0的关系．解：由α＋β0，得α－β，∵f(x)在R上是减函数，且为奇函数，∴f(α)f(－β)＝－f(β)，∴f(α)＋f(β)0，同理f(β)＋f(γ)0，f(γ)＋f(α)0，以上三式相加，得2[f(α)＋f(β)＋f(γ)]0，故f(α)＋f(β)＋f(γ)0.——————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————种方法——比较大小的方法-6-作差比较法与作商比较法是判定两个数或式大小的两种基本方法，其中变形是关键．个注意点——应用不等式的性质应注意的问题(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，bc⇒ac.(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有ab⇒ac2bc2；若无c≠0这个条件，ab⇒ac2bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．(3)“ab0⇒anbn(n∈N*，n1)”成立的条件是“n为大于1的自然数，ab0”，假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现“3－12－1”的错误结论；假如去掉“b0”这个条件，取