chapter4_曲面上的张量分析_319208705

4.1.三维欧氏空间的曲线论1第4章曲面上的张量分析曲线和曲面几何,或更一般的Riemann几何问题,在力学和物理学中有着广泛的应用,如广义相对论,薄壳理论,细胞力学等等.本章着重介绍三维空间的曲线和曲面论及其上的张量分析,并对Riemann几何若干基本概念作简要介绍.Figure4.1:曲面的例子:(a)悉尼歌剧院贝克结构,(b)露珠,(c)红血球细胞,(d)广义相对论星球附件的完全空间.4.1三维欧氏空间的曲线论4.1.1三维空间的曲线,弧长,单位切矢量若三维欧氏空间相对于笛卡儿坐标系{x,y,z}的原点O的位置矢量r=(x,y,z)依赖于单参数t变化,则对应的空间点集是一条空间曲线C:⎧⎪⎨⎪⎩x=x(t)y=y(t)z=z(t)例如,物理空间质点的运动轨迹是以时间为单参数的空间曲线.为简单起见,上述单变量t的函数今后假定具有三阶连续导数.位置矢量对t的导数r0(t)=dr(t)/dt是一个在r(t)点与曲线C相切的矢量,并指向曲线随t增加而延伸的方向(简称为曲线的正向).如果在t0处r0(t0)6=0,则称t0参数点是r(t)的正则点;否则称作为奇点.今后研究的曲线除个别奇点外,都假设是正则点.特别地,如果曲线上所有点都是正则点,则称该曲线为正则曲线.2Figure4.2:例4.1.1曲线r(t)=(acost,asint,bt)当若a0,b0时是柱面x2+y2=a2上间距为2πb的一条圆柱螺线(见图4.2(a)),这是一条正则曲线.例4.1.2平面曲线r(t)=(t3,t2,0)在t=0处是一个奇点(见图4.2b).从参数点t0到t的一段曲线的弧长为s(t)=Ztt0¯¯¯¯drdt¯¯¯¯dt其中¯¯¯¯drdt¯¯¯¯=r(dx(t)dt)2+(dy(t)dt)2+(dz(t)dt)2是切矢量r0(t)的长度.如果采用另一参数t∗替代t,t∗与t一一对应,且dt∗/dt6=0;为了使t∗增加的方向也对应曲线的正向,则还进一步要求dt∗/dt0.则易得s(t)=Ztto¯¯¯¯drdt¯¯¯¯dt=Ztto¯¯¯¯drdt∗dt∗dt¯¯¯¯dt=Zt∗t∗o¯¯¯¯drdt∗¯¯¯¯dt∗=s(t∗)其中t∗o=t∗(to),t∗=t∗(t),可见曲线的弧长s与参数的选择无关.对于正则曲线,由于ds/dt=|r0(t)|0,可见s是t的严格单调增函数,因此亦可选择s作为曲线的新的参数.今后如特别说明除外,曲线的参数一概选择为s,这时t=drds=r0(s)(4.1.1)是曲线的单位长度的切矢量.4.1.2曲率,主法向,从法向从数学分析我们知道,用笛卡儿坐标(x,y)表示的平面曲线y=y(x)的曲率为κ=|y00(x)|(1+y02(x))3/2(4.1.2)其几何含义是曲线上邻近两点切矢量之间夹角对弧长的变化率.如图4.3a所示,当曲线上凹时,y000;上凸时则y000.4.1.三维欧氏空间的曲线论3Figure4.3:对于一般的空间曲线r(s),如图4.3b所示,t(s+∆s)与t(s)的夹角∆ϕ可表示为∆ϕ=2arcsin[12|t(s+∆s)−t(s)|]=|t0(s)|∆s+o(∆s)因此,曲线在r(s)点的曲率为κ=lim∆s=0∆ϕ∆s=|t0(s)|=|r00(s)|(4.1.3)故存在一个单位矢量n(s)使得t0(s)=κ(s)n(s)(4.1.4)由于t是单位矢量,故t0(s),从而n(s)与t垂直,落在r(s)点与曲线垂直的平面内,且朝曲线的凹向,称为曲线在r(s)点的主法向.包含单位切矢量t(s)的所有平面都与曲线在r(s)点相切.然而,如果该曲线不是直线,则一般唯一存在一个平面是特殊的,叫做该曲线在r(s)点的密切平面.记P(s,∆s)为包含t(s)且与曲线在r(s+∆s)相交的平面,极限lim∆s=0P(s,∆s)称做为曲线在r(s)点的密切平面,由t和n张成.按照上述定义,密切平面是与曲线的r(s)点及邻点最靠近的平面.当κ(s)6=0时,其倒数ρ(s)=κ−1(s)称为曲线的曲率半径,代表了密切平面上在r(s)点与曲线最靠近的圆(称做为密切圆)的半径.密切平面的法向记为l,并规定{t,n,l}遵循右手法则,即:⎧⎪⎨⎪⎩l=t×nt=n×ln=l×t见图4.4,称l为曲线的从法向;由t(s)和l(s)张成的平面称为曲线在r(s)点的从切平面;由n(s)和l(s)张成的平面在r(s)点与曲线垂直,叫法平面.例4.1.3对于直线r(s)=t0s+r0,其中t0和r0为常矢量且|t0|=1,得到t≡t0,κ≡0.反之,若κ≡0,则从微分方程r00(s)=0可解得r(s)=t0s+r0,因此直线的特征是κ≡0(或t=常矢量).4.1.3Frenet标架和Frenet公式在曲线的每一点s上,{t,n,l}形成一个标准正交基,称作为Frenet标架,式(4.1.4)给出了t随s的变化率,为求l的变化率,对l·t=0关于s求导得0=l0·t+l·t0=l0·t+κl·n=l0·t4nlt密切平面从切平面法平面CFigure4.4:曲线的Frenet标架和密切平面,法平面和从切平面.可见l0与t垂直.又由于l是单位矢量,故l0恒与l垂直,因此l0只能与n平行,记为l0=−τn(4.1.5)称τ=−l0·n为挠率.由定义,τ度量了曲线上邻近两点密切平面夹角对弧长的变化率.最后,由n=l×t及(4.1.4)和(4.1.5),不难求证n0=−κt+τl.综合起来,可得如下著名的Frenet公式⎧⎪⎨⎪⎩t0=κnn0=−κt+τll0=−τn(4.1.6)例4.1.4对螺旋线r(t)=(acost,asint,bt),求得r0(t)=(−asint,acost,b)于是dsdt=|r0(t)|=√a2+b2单位切矢量为t=(−asint,acost,b)√a2+b2再由dtds=(−acost,−asint,0)a2+b2=κn得到κ=aa2+b2,n=(−cost,−sint,0)可见螺旋曲线的主法向n正是柱面指向内部的法向,而曲线的曲率是一个常数.从法向等于l=t×n=(bsint,−bcost,a)√a2+b2挠率τ为τ=−dlds·n=−(bcost,bsint,0)√a2+b2·(−cost,−sint,0)=ba2+b2亦为常数.4.1.三维欧氏空间的曲线论5下面证明,曲线落在某个平面上的充要条件是曲线上每一点的挠率都等于零.必要性:设该曲线r(s)位于单位法向量为l0的平面内,于是[r(s)−r(0)]·l0≡0,两边求导后得到t·l0=0,t0·l0=0,故t和n都与l0垂直,因此,从法向l=t×n与l0平行,故l0=0,即τ=0.充分性:设τ=0,不妨再设κ6=0(否则曲线为直线,自然属于平面曲线).由τ=0推出l=l0是常矢量,再由(r·l0)0=t·l0=0,从而进一步推断r(s)·l0是常数.记该常数为r0·l0,则(r(s)−r0)·l0=0,从而证明了r(s)是一平面曲线.下面的定理表明,曲率κ和挠率τ完全刻画了曲线的几何形状.定理4.1.1曲线论基本定理:给定区域I=(a,b)上连续可微函数κ(s)0和连续函数τ(s),则:(1)必存在以弧长s为参数的正则曲线r(s),它的曲率和挠率分别恰好等于κ(s)和τ(s).(2)若进一步在定点r0处给定一个正向的标正基{t0,n0,l0},则存在唯一的一条曲线,它的曲率和挠率分别等于κ和τ,且在s=0处的r=r0而Frenet标架等于{t0,n0,l0}.基本定理第1部分的证明相当于求解微分方程组(4.1.6),其中κ(s)和τ(s)是已知函数,详细证明可参见微分几何教程.4.1.4曲线的局部性质作为Frenet公式的一个直接应用,我们来研究曲线C在一点邻域的局部性质.作Taylor展开得到:r(s+∆s)=r(s)+r0(s)∆s+12!r00(s)∆s2+13!r000(s)∆s3+R其中余项R是∆s3的高阶小,代入r0(s)=t,r00(s)=κn及r000(s)=(κn)0=κ0n+κn0=κ0n−κt+τl可得∆r(s)=r(s+∆s)−r(s)=(∆s−13!κ2∆s3)t+(12!κ∆s2+13!κ1∆s3)n+13!κτ∆s3l+R若重取r(s)为原点O,以{t,n,l}为局部笛卡儿坐标系{x,y,z}的方向,则有⎧⎪⎨⎪⎩x=∆s−13!κ2∆s3+Rxy=12!κ∆s2+13!κ∆s3+Ryz=13!κτ∆s3+Rz称作为Bouquet公式或曲线在r(s)邻域内的局部规范形.略去高阶小后,有⎧⎪⎨⎪⎩x=∆sy=12!κ∆s2z=13!κτ∆s3因此,如图4.5所示,曲线C在密切平面上的投影是一条(局部)抛物线:y=12κx2;在法平面上的投影为溅射线;在从切平面上的投影为三次曲线:z=13!κτx3.由局部形式,还可直接读出如下几层含义:(i)若τ0,则曲线穿过密切平面指向l的一侧;若τ0则相反.(ii)曲线局部地完全落在从切平面指向n的一侧.6Figure4.5:(a)在空切平面的投影.(b)在法平面的投影(τ0).(3)在从切平面的投影(τ0).4.1.5曲线上的张量分析(未完待续):对于曲线C:r(s)上的矢量场u(s),若采用Frenet标架,即u=utt+unn+ull,则有u0=u0tt+utκn+u0nn+un(−κt+τl)+u0ll+ul(−τn)=(u0t−κun)t+(u0n+κut−τul)n+(u0l+τun)l用类似的推导过程可以建立C上张量场的导数.总之Frenet标架是曲线论理论及应用上的一个十分有用的工具.4.1.6曲线的整体性质(未完待续):下面不加证明地引述曲线的一些整体性质.所谓闭曲线,是指没有实质起始点和终结点,或两点重叠的曲线.如果曲线本身(除封闭外)无相交点,则称作为一条简单曲线.特别地,注意到t(s)是单位矢量,故t的末端形成单位球面上的一条闭曲线,称作为曲线r(s)的切向像.如果曲线的全长为L,则切的像的全长为κ=Zlo|t0(s)|ds=Zloκds称作为曲线的全曲率.当曲线进一步为平面曲线时,切向像落在单位球面上的一个大圆弧上.以该大圆弧所在平面的xy坐标面,则t=r0(s)=(cosϕ,sinϕ).此时t0=κn=(−sinϕ,cosϕ)ϕ0κ=ZLoϕ0ds=ϕ(L)−ϕ(o)即全曲率正是角ϕ的总变化.例4.1.5求椭圆r(t)=(acost,bsint,0)的全曲率.首先求得drdt=(−asint,bcost,0)dsdt=¯¯¯¯drdt¯¯¯¯=pa2sin2t+b2cos2t不难求得曲率为κ=ab(a2sin2t+b2cos2t)3/24.2.三维欧氏空间曲面论7故全曲率为κ=Z2π0κdsdtdt=4abZπ2odta2sin2t+b2cos2t=2π4.1.7练习练习1(大练习)对于一个等截面曲杆,试采用弧长坐标和Frenet标架,建立曲杆的动力学方程,既内力(弯矩,扭矩,轴力,剪力)与线分布外力和惯性力之间的微分方程关系.对于细长曲杆,轴向应变和剪切应变常常可以略去不计,且应变在线性弹性范围,试建立此时的弯矩和扭矩与曲杆弯曲曲率与扭率的关系.练习2计算曲线从t=0起的弧长(a)双曲螺线r=(acosht,asinht,bt)(b)悬链线r=(t,acoshta,0)练习3用弧长参数表示圆柱螺线和双曲螺线.练习4求以下曲线的曲率和挠率,并尝试绘出曲线:(1)r=(acosht,asinht,at)(2)r=(cos3t,sin3t,cos2t)练习5给定一个矢量m,试证明若曲线r(t)在任何点t的切向r0(t)都与m正交,且r(0)与m正交,则r(t)在任何t点与m正交.练习6试证明,对于任何参数t表征的曲线,曲率和挠率可由下述公式求得κ=|r0(t)×r00(t)||r0(t)|3τ=[r0(t),r00(t),r000(t)]|r0×r00|2练习7如果一条曲线的切矢量始终与一固定方向交于定角,则称